Формула на Циолковски: използване и пример

Формулата на Константин Едуардович Циолковски изразява максималната скорост въздухоплавателни средства, който достига по време на самолетен полет. Тя се получава чрез интегриране на уравнението на Мещерски.

Формула Циолковски

Тази формула изразява скоростта на ракета, предавана от газове от изгоряло гориво. Уравнението на Мещерски и формулата на Циолковски са неразривно свързани - уравнението на Мещерски описва масата на материалната точка, която се променя с времето, докато движението на реактивната ракета непрекъснато намалява масата си поради изгарянето на горивото. Промяната в скоростта с променяща се маса (намаляваща в нашия случай) на движещо се тяло - това е, което подразбира реактивното задвижване. Формулата на Циолковски се основава на нея.

За решаването на редица проблеми на теоретичната механика в областта на реактивното задвижване се използва уравнението на Мещерски (основното уравнение на материалната точка с променлива маса) и формулата на Циолковски (формулата на крайната скорост на самолета), които се наричат ​​основни отношения на теорията на реактивното задвижване.

Основата за проектиране и планиране в областта на космическите полети е именно формулата на Циолковски, чието сключване е истински пробив за изследване на космоса.

Задачи на Циолковски

За да се реши проблемът с междупланетните полети, К. Е. Циолковски счита ракета като средство за полет. Той извлича формула, която може да се използва за определяне на зависимостта на масата на въздухоплавателното средство от горивото и скоростта на отделяне на продуктите на горенето от използваното гориво спрямо него. Ние показваме две от задачите му:

• Изследването на движението на тяло с променлива маса с една действаща върху нея реактивна сила.
• Изследването на движението на тялото в еднакво поле на гравитацията на променлива маса близо до повърхността на Земята.

предговор

За всички космически полети първоначалната и фундаментална е формулата на Циолковски за скоростта на ракетата, чийто изход е представен по-долу.

Първо трябва да го вземете, грубо казано, за материална точка. Силите на гравитацията на Земята и други небесни тела ще действат върху него (в момента на излитането гравитационната сила на Земята, разбира се, ще бъде най-силна), силата на въздушното съпротивление от едната страна и противоположно насочената реактивна сила в резултат на освобождаването на изгорял газ в основата на тялото. , Ракетата с голяма сила изхвърля тези газове, които му казват, че ускорението е насочено противоположно на страната на емисията. Сега трябва да представите тези аргументи под формата на формула.

Самият принцип на ракетния полет е доста прост. При висока скорост, газът, получен от изгарянето на горивото, който дава на самата ракета определена сила, която действа срещу посоката на движение, излиза от ракетата. Тъй като се смята, че външните сили не действат върху ракетата, системата ще бъде затворена, а нейният импулс не зависи от времето.

Уравнение на Мещерски

Един от основните примери за движение на тяло с променяща се маса е ракета с един етап, чиято маса се променя само поради изгарянето на горивото, което се съдържа в него. Масата на такава ракета се състои от непроменен (самата ракета и неговия полезен товар) и променлива (гориво). Такъв пример е опростен модел.

В съвременните ракети се използват обаче многостъпални ракети. Принципът на тяхната работа е, че поради големия обем стъпала, те могат да транспортират и използват много повече гориво след излитане. След неговото изгаряне, ракетата се отчита като значителен импулс (много по-голям от този, който може да се постигне при използване на един етап), а частите, които са станали ненужни, се отделят от основата, като общото тегло намалява с 80-90%. Въпреки това, за да се изчисли параметрите на многоетапна ракета, е необходимо да се съберат индикаторите на всеки от компонентите му.

Диференциалното уравнение на Мещерски описва движението материална точка с променлива маса.

(m + dm) (υ + dυ) + dm 'υ' - mυ = Fdt - във време dt (разликата между силата в момент t и dt + t ще бъде увеличение).

Където m и υ зависят от времето, dt - известно време на полета. За него се формира силата на движение на газа - dm 'υ', dm '- масата на газа, образуван от горивото. F е произтичащата сила.

В горното изражение, увеличаването на масата на ракетата и газа и скоростта се втурва към нула, така че изразът има следната форма:

mdυ = υ''dm + Fdt,

освен това, υ "е равна на разликата между скоростта и скоростта на газа и е скоростта на изтичане на газ.

- уравнението по форма започва да съвпада с втория закон на Нютон - F = ma = m

Нарича се уравнението на Мещерски.

Извличане на формулата Циолковски

Необходимо е да се извлече формула, описваща движението на тялото с променлива маса. Формула Циолковски е такава. Резултатът е представен по-долу.

При тези изчисления се приема, че външните сили не действат върху движещо се тяло, т.е. F = 0.

Тогава mdυ = υ''dm

Тъй като въздействието на външни сили върху летяща ракета е нула, то се движи по права линия, а скоростта на движение е противоположна на скоростта на газа. Съответно, υ = -υ ''

Оказва се, че изразът, който трябва да бъде интегриран.

Необходимо е да се намери константа. За да направите това, достатъчно е да замените първоначалните условия с уравнението - скоростта е нула, а масата е сумата от масата на горивото и масата на ракетата (m ₀ + m).

Като цяло m във формулата се състои от два параметъра - от полезния товар и от конструкцията на ракетата. Ползваемостта е общото тегло на товара и екипажа.

Ние заместваме намерената константа във формулата. В резултат се получава изразът на необходимата формула.

Това е една от разновидностите на формулата на Циолковски за скорост. Понякога обаче е необходимо да се вземе предвид точно масата. Затова понякога се пише по следния начин:

Тази формула се използва за изчисляване на масата на горивото, което е необходимо за развитието на определена скорост при определени условия.

Ще разгледам по-нататък една малка задача. Да предположим, че ракета трябва да развие първата космическа скорост за въртене по земната орбита. Тогава първо трябва изчисли масата гориво, разбира се. Тогава е много просто да се изрази от формулата на Циолковски.

Релативистична механика

Всички горепосочени формули могат да се използват само в случаите, когато скоростта на ракетата е много по-малка от скоростта на светлината (υ <

Въпреки това, ако скоростта на ракетата може да се сравни със скоростта на светлината, тогава е необходимо да се прилагат други закони.

Нека m и υ е масата на ракетата в състоянието и нейната скорост във всеки момент t, а υ 'и m' са скоростта на отделяне на газ и нейната маса в същото време. Това означава, че m 'е масата на освободения газ, така че неговата стойност за изчислението е маловажна, m' = 0.

Необходимо е да се напише законът за запазване на инерцията и законът за запазване на енергията в релативистичната механика, след това да се диференцира първото уравнение, като се има предвид, че m '= 0 и се получи изразът трети.

където u е скоростта на излъчване на газове.

Въз основа на закона за добавяне на скорости в релативистичната механика, този израз следва. Тя трябва да бъде преобразувана по отношение на υ 'и интегрирана, за да се получи окончателната версия на уравнението.

И тогава получаваме формулата на Циолковски за скорост, сравнима със скоростта на светлината. Тя може да се нарече релативистична формула на Циолковски.

Можете да усложните задачата и да разгледате като пример ракета с няколко етапа. Така формулата на Циолковски за многоетапна ракета е сумата от необходимите за изчислението параметри. Това означава, че за да се изчисли скоростта на многоетапна ракета, трябва да добавите скоростта на всяка от съставните части.

Няколко извода от формулата Циолковски

Основата на всички космически полети е формулата на Циолковски.

• Скоростта на движение е пряко зависима от относителната скорост на изхвърляне на газове, следователно, колкото по-голяма е скоростта на изхвърляне, толкова по-бързо ракетата лети.
• Колкото по-голямо е съотношението между сумата на масата на ракетата и масата на горивото към масата на ракетата, толкова по-голяма е скоростта на ракетата. Увеличението възниква дори според определена зависимост - ако масовото съотношение се увеличава геометрична прогресия това означава, че всяко предишно число е по-малко от следващия определен брой пъти, след което скоростта нараства при аритметична прогресия - всяко предишно число е по-малко от следващото с определено число. Това обаче не означава, че скоростта е пропорционална на масата. Самият Циолковски отбелязва в писмата си, че скоростта нараства по-бавно в сравнение с увеличаването на горивото, но няма граници.
• Следователно, за развитието на по-голяма скорост, е необходимо да се увеличи скоростта на изхвърляне на газ и масата на горивото.

Ракетна ефективност

При изчисляване на полета е важно ясно да се разбере какъв процент от енергията, получена след изгарянето на горивото, се използва като полезна работа?

По този начин ефективността се нарича съотношение кинетични енергии ракети и газове след изхвърляне. Означаваме m и m 'за масата на ракетата в началото и в края на полета, непрекъснатото време t. Съответно - скоростта на изхвърляне на газове.

Тогава, по формулата на Циолковски, ефективността на ракетния двигател може да се намери както следва:

Трябва да се отбележи, че тази ефективност е много малка и не надвишава 5%, освен това, както при топлинните двигатели, този показател е равен на 80%.

Друга форма на формула

Някои ресурси използват малко по-различна формула на Циолковски, уравнение, в което вместо параметър υ се използва друг параметър - I. В този случай, I се нарича специфичен импулс и дори се дава обяснение, че специфичният импулс се изразява чрез тягата на двигателя и масовото му изгаряне на гориво за единица време. , Първият въпрос, който идва на ум, е въпросът за размерността. За разлика от скоростта, инерцията има различно измерение, което ще противоречи на същността на формулата. Въпреки това, конкретният импулс съвпада по размер с скорост.

Специфичният импулс показва броя на секундите, в които двигателят, прекарал единица гориво, ще получи сила. Използва се изключително в описанието на реактивния двигател.

Използвайте, когато създавате ракети

Формулата на Циолковски за многоетапна ракета се използва и при проектирането на ракета. За тази цел се използва напълно логическа връзка, която е практически пропорционална - колкото повече гориво се използва при полет, толкова по-голяма ще бъде масата на самата ракета. Това се дължи на факта, че за транспортирането на големи количества гориво, съответно, се изискват големи резервоари, така че размерът на кораба и дори самият двигател се увеличават. Едно решение на проблема е използването на твърди горива, което изисква по-малко условия за съхранение. В момента обаче той има най-малкия специфичен импулс на съществуващите.

Космически скорости

Формулата на Циолковски се използва и за изчисляване на необходимото количество гориво за развитието на определена скорост - обикновено една от четирите космически.

• Първата космическа скорост - корабът отива в орбита на планетата. За Земята е приблизително 7.91 km / s.
• Втората космическа скорост - ракета преодолява силата на гравитацията и отива в открито пространство. За Земята - 11.2 km / s.
• Третата космическа скорост - ракета преодолява силата на привличане на звезда в системата (например Слънцето) и излиза извън нея. За Слънчевата система - 42 km / s, обаче, тези изчисления са неточни поради необходимостта да се преодолее привличането на планетата.
• Четвъртата космическа скорост - корабът може да напусне галактиката. За Млечния път - повече от 500 km / s, изчислени въз основа на точката на местоположение.