Геометрична прогресия, нейното приложение при решаване на проблеми
Древен индийски царят реши да награди изобретателя на шахмата: "Попитай ме какво искаш за такава мъдра игра". Скромният отговор изненада владетеля, когато мъдрецът попита за зърно от пшеница толкова, колкото можеше да се побере на 64 клетки на шахматна дъска. Той каза: “Сложи 1 зърно на първата клетка, 2 на втората, 4 на третата, след това на 8, 16, 32, ...”. Броят на зърната трябваше да се удвоява всеки път. 
Резултатът от преброяването зашемети царя. Зърната броиха 230,584,300,921,369 паунда. Оказва се, че от тази поредица от числа е получена геометрична прогресия. Сумата от нейните членове е толкова голяма, че зърната са преброени многократно повече от цялата световна пшеница.
Последователност от числа
В него всяко следващо число, започвайки от второто, се получава чрез умножаване на предишното с някакъв постоянен брой q (const), наречен знаменател. Първото число е 1 and 0 и q You 0. Можете да го напишете по следния начин:
в 1 ; при 2 = в 1 ; q; при 3 = в 2 ; q; ...; при n = в n-1 . q.
В нашия пример числата нарастват много бързо. Това е нарастваща геометрична прогресия, тъй като положителният знаменател е q ›1 и в 1 › 0. Ако | q | ‹1, прогресията намалява, с q‹ 0 - редуване. Ето формулата за всеки член на такава последователност:
при n = в 1. q n-1 .
Предложеният проблем на зърната се решава с добре познатата формула за сумата на n-първите членове на нарастващата геометрична прогресия
S = (a 1 -a p ) q) :( 1-q), при условие че q. 1.
За решаването на много други проблеми е важно да се знае характерното свойство на прогресията. Всеки термин в квадрата (с изключение на първия) е равен на произведението на термините, равноотстоящи от него,
в n 2 = в nk ∙ в n + k , където 1 ≤ k ‹n, n ≥ 2.
Безкрайна геометрична прогресия
Това е поредица от числа, като п има тенденция да ∞. Пример за това е поредица от квадрати от квадрати, които се получават по следния начин. Свързваме средните точки на страните на тази единица, след това свързваме и средните точки на страните на новия квадрат, продължаваме безкрайно този процес {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Първият срок на прогресията 1, знаменателят ½. Намаляващата геометрична прогресия се нарича безкрайна, ако знаменателят й принадлежи към отворен сегмент (0, 1). Ако разгледаме сегмента (-1, 1), тогава трябва да говорим за сближаваща се и дивергираща поредица от числа. При решаване на приложни задачи е полезно да се знае една проста формула за сумата на членовете на една безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
S = в 1 / (1-q).
Примери за задачи, използващи геометрична прогресия
- Напишете периодичната част 0, (13) под формата на рационално число (обикновена фракция).
Представете си десетичната дроб като сума:
0,131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
Очевидно, в 1 = 13/100, ние изчисляваме q: 13/10000 и разделяме на 13/100,
получаваме q = 1/100. Предложената сума е лесно да се намери по формулата
S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - това е представянето на десетичната дроб във формата на обикновен.
- В безкрайно намаляващата прогресия е известен 2- рият член a 2 = 21 и сумата S = 112. Необходимо е да се намери неговият първи член. Когато решаваме, използваме формулите на сумата от безкраен геометричен и втори член на прогресията, получаваме система от 2 уравнения с две неизвестни.
Първото уравнение на тази система е 112 = a 1 / (1-q), а 1 = 21 / q е второто.
След като го разрешим, получаваме квадратично уравнение по отношение на q.
112q2-112q + 21 = 0, опростяване на 16q2-16q + 3 = 0.
В резултат на това 2 корена q 1 = ¾, q 2 = ¼. Първи член
a 1 = 21 / (3/4), а първият член a 1 = 21 / (1/4).
Нашата задача има 2 решения: a 1 = 28 и 1 = 84.
заключение
Геометричната прогресия е широко използвана при решаването на много проблеми при намирането на номера на даден член на последователност, чийто знаменател, при условие че два съседни члена не са посочени. Има интересни проблеми, в които членовете са написани под формата на изрази с променливи.