Квадратни уравнения. Решаване на квадратни уравнения
В началото тази тема може да изглежда сложна поради многото не много прости формули. Не само квадратичните уравнения имат дълги вписвания, но корените се откриват и чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно да се запомни. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами по себе си.
Общ изглед на квадратичното уравнение
Тук им се предлага изричен запис, когато се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, в които компонентите са в противоречие помежду си. Тогава е по-добре да се пренапише уравнението в низходящ ред на степента на променливата.
Въвеждаме нотацията. Те са представени в таблицата по-долу.
| Обозначение на величината | Нейното име |
| a, b, c | коефициенти, които са произволни числа |
| х | променлив |
| D | дискриминантен |
| x 1 x 2 | корените на уравнението |
Ако приемем тези обозначения, всички квадратични уравнения се свеждат до следния запис.
Освен това, коефициентът a Let 0. Нека тази формула да бъде означена с номер едно.
Когато уравнението е дадено, не е ясно колко корени ще бъдат в отговора. Тъй като винаги е възможно една от трите опции:
- решението ще има два корена;
- отговорът е един номер;
- корените на уравнението изобщо няма да бъдат.
И докато решението не е завършено, трудно е да се разбере коя от опциите ще падне в конкретен случай.
Видове записи на квадратни уравнения
В задачите може да има различни записи. Те не винаги ще изглеждат като обща формула за квадратично уравнение. Понякога тя ще пропусне някои от елементите. Това, което е написано по-горе, е пълно уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, ще получите нещо друго. Тези записи също се наричат квадратични уравнения, само непълни.
Освен това, могат да изчезнат само термините, чиито коефициенти са „in“ и „c“. Числото "а" не може да бъде нула при никакви условия. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията са следните:
и
Така че има само два вида, освен пълните, има и непълни квадратични уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората три.
Дискриминантна и зависимостта на броя на корените от нейната стойност
Трябва да знаете този номер, за да изчислите корените на уравнението. Тя винаги може да се изчисли, независимо от формулата на квадратичното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате уравнението, написано по-долу, което ще има числото четири.
След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратичното уравнение ще отсъстват. В случай на равенство в нула, отговорът ще бъде един.
Как се решава квадратичното уравнение на пълната форма?
Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намериш дискриминанта. Веднъж щом стане ясно, че има корени на квадратично уравнение и техният брой е известен, е необходимо да се използват формули за променливи. Ако има два корена, тогава трябва да приложите тази формула.
Тъй като в него има знак „±“, ще има две стойности. Изразът на квадратния корен е дискриминант. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.
Формула 5. От същия запис е ясно, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще имат същите стойности.
Ако решението на квадратичните уравнения все още не е изработено, по-добре е да се запишат стойностите на всички коефициенти преди да се приложат дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да предизвика трудности. Но в самото начало има объркване.
Как се решава квадратичното непълно уравнение?
Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И не се нуждаят от тези, които вече са записани за дискриминант и неизвестното.
Първо ще разгледаме непълното уравнение номер две. При това равенство се приема, че неизвестната стойност се поставя от скобата и се решава линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще бъде два корена. Първата е задължително равна на нула, защото има фактор, който се състои от самата променлива. Второто ще се окаже при решението линейно уравнение.
Непълното уравнение номер три се решава чрез прехвърляне на номера от лявата страна на равенството вдясно. След това трябва да се разделят с коефициента, който е изправен пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратен корен и не забравяйте да я запишете два пъти с противоположни знаци.
Полезни съвети
След това записваме някои действия, които ни помагат да се научим как да решаваме всички видове равенства, които се превръщат в квадратични уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне небрежни грешки. Тези недостатъци са причина за лошите оценки при изучаването на обширната тема "Квадратни уравнения (степен 8)". Впоследствие тези действия няма да е необходимо да се изпълняват непрекъснато. Защото ще има стабилно умение.
- Първо трябва да напишете уравнението в стандартната форма. Тоест, първо, терминът с най-голяма степен на променливата, а след това - без степента и последната - само номер.
- Ако един минус се появи пред коефициента „а”, тогава може да усложни работата за начинаещ да изучава квадратични уравнения. По-добре е да се отървете от него. За тази цел цялото равенство трябва да се умножи по "-1". Това означава, че всички термини ще променят знака на обратното.
- По същия начин се препоръчва да се отървете от фракциите. Просто умножете уравнението с подходящия множител, за да се намалят знаменателите.
примери
Изискват се следните квадратни уравнения:
х2 - 7х = 0;
5x2 - 30 = 0;
15 - 2x - х 2 = 0;
х 2 + 8 + 3x = 0;
12x + х2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Първото уравнение: х2 - 7х = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула 2.
След като поставите скобите, x (x - 7) = 0.
Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Второто ще се намери от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се забележи, че x 2 = 7.
Второто уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново незавършено. То се решава само както е описано за третата формула.
След прехвърляне на 30 към дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да се разделим на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числата: x 1 = ,6, x 2 = - .6.
Третото уравнение: 15 - 2x - x 2 = 0. Оттук нататък решението на квадратичните уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: - x 2 - 2x + 15 = 0. Сега е време да използваме втория полезен съвет и да умножим всичко с минус едно. , Оказва се, че x 2 + 2x - 15 = 0. Според четвъртата формула, дискриминантът трябва да се изчисли: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да бъдат изчислени по петата формула. Това означава, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.
Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се превръща в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: "Няма корени."
Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише по следния начин: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминант получаваме нула. Това означава, че той ще има един корен, а именно: x = -12 / (2 * 1) = -6.
Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в привеждането на такива термини преди отварянето на скобите. На мястото на първия ще има следния израз: x 2 + 2x + 1. След равенството, този запис ще се появи: x 2 + 3x + 2. След като тези думи бъдат отчетени, уравнението ще изглежда като: x 2 - x = 0. Тя се превръща в непълна , Подобно на него вече се смяташе малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.