Теория на вероятностите: формули и примери за решаване на проблеми

"Случаите не са случайни" ... Звучи така, сякаш философът е казал, но всъщност, за да изучаваш случайността, е голяма част от великата математическа наука. В математиката теорията на вероятностите се занимава с случайност. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да го направим малко по-ясно, нека да дадем малък пример: ако хвърляте монета, тя може да падне с „орел“ или „опашки“. Докато монетата е във въздуха, двете вероятности са възможни. Това означава, че вероятността от възможни последствия е 1: 1. Ако от тестето с 36 карти да дръпнете една, то вероятността ще бъде обозначена като 1:36. Изглежда, че няма какво да се изследва и предсказва, особено с помощта на математически формули. Ако обаче повторите определено действие много пъти, тогава можете да идентифицирате определена редовност и въз основа на това да предскажете резултата от събитията в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятността в класическия смисъл изследва възможността за възникване на едно от възможните събития в числова стойност.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се правят опити да се предскаже изходът от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите няма нищо общо с математиката. Тя се основава на емпирични факти или свойства на събитие, което може да бъде възпроизведено на практика. Първите произведения в тази област, както и в математическата дисциплина, се появяват през 17 век. Блез Паскал и Пиер Ферма станаха прадеди. Дълго време изучаваха хазарта и видяха определени модели, които решиха да кажат на обществото.

Кристиан Хюйгенс е изобретил същата техника, въпреки че не е бил запознат с резултатите на Паскал и Ферма. Понятието "теория на вероятностите", формули и примери, които се считат за първи в историята на дисциплината, са въведени от него.

Не малко значение имат произведенията на Якоб Бернули, теоремите за Лаплас и Поасон. Те правеха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формули и примери за основни задачи получиха сегашната си форма благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите раздели.

Основни понятия на теорията на вероятностите. събития

Основната концепция на тази дисциплина е "събитие". Събитията са от три типа:

• Надежден. Тези, които се случват във всеки случай (монетата ще падне).
• Невъзможно. Събития, които не се случват при никакви сценарии (монетата ще остане висяща във въздуха).
• Случайни. Тези, които се случват или няма да се случат. Те могат да бъдат засегнати от различни фактори, които е много трудно да се предскажат. Ако говорим за монета, тогава случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, неговата форма, начална позиция, хвърляща сила и др.

Всички събития в примерите се обозначават с главни латински букви, с изключение на Р, на която е възложена различна роля. Например:

• A = "учениците дойдоха на лекцията."
• Ā = "учениците не присъстваха на лекцията."

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Това означава, че ако обърнете монета, всички варианти на първоначалната капка са възможни, докато не падне. Но и събитията не са еднакво възможни. Това се случва, когато някой конкретно влияе на резултата. Например, "маркирани" карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Повече събития са съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват взаимно. Например:

• A = "студент дойде на лекцията."
• B = “ученикът дойде на лекцията”.

Тези събития са независими един от друг и появата на един от тях не влияе на външния вид на другия. Несъвместимите събития се определят от факта, че появата на един изключва появата на друг. Ако говорим за една и съща монета, загубата на „опашката“ прави невъзможно „орелът“ да се появи в същия експеримент.

Действия по събития

Събитията могат да бъдат умножавани и добавяни, съответно, в дисциплината са въведени логическите пакети на "И" и "ИЛИ".

Сумата се определя от факта, че може да има събитие А, или Б, или две по едно и също време. В случая, когато те са несъвместими, последната опция е невъзможна, или А или В ще изпаднат.

Умножаването на събитията се състои в появата на А и В едновременно.

Сега можете да дадете няколко примера, за да запомните по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Задача 1 : Компанията участва в конкурса за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

• A = "фирмата ще получи първия договор."
• A ₁ = "фирмата няма да получи първия договор."
• B = "фирмата ще получи втори договор".
• В ₁ = "фирмата няма да получи втория договор"
• C = "фирмата ще получи третия договор."
• C ₁ = "фирмата няма да получи третия договор".

Използвайки действия за събития, се опитваме да изразим следните ситуации:

• К = "фирмата ще получи всички договори."

В математическа форма уравнението ще има следната форма: K = ABC.

• M = "фирмата няма да получи нито един договор."

M = A ₁ B ₁ C ₁ .

Усложнявайте задачата: H = "компанията ще получи един договор". Тъй като не е известно какъв вид договор ще получи фирмата (първо, второ или трето), е необходимо да се записва цялата гама от възможни събития:

H = A ₁ BC ₁ υ AB ₁ C ₁ υ A ₁ B ₁ C.

И ₁ БЦ ₁ е поредица от събития, в които фирмата не получава първия и третия договор, а получава втория. Други възможни събития се записват съответно. Символът υ в дисциплината означава куп "OR". Ако преведете дадения пример на човешки език, фирмата ще получи или трети договор, или втори, или първи. По същия начин можете да записвате други условия в дисциплината "Теория на вероятността". Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността от събитие е централната концепция. Има 3 определения на вероятността:

• класически;
• Статистическа;
• Геометрична.

Всеки има своето място в изучаването на вероятностите. Теорията на вероятностите, формулите и примерите (степен 9) използват предимно класическата дефиниция, която звучи така:

• Вероятността от ситуация А е равна на съотношението на броя на резултатите, което благоприятства възникването му, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P (A) = m / n.

P означава вероятност за събитие А.

И - всъщност, събитие. Ако има случай, противоположен на A, той може да бъде записан като A или A ₁ .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да възникнат.

Например, A = „извади картата на сърдечния костюм“. В стандартната палуба има 36 карти, като 9 от тях са със сърдечен костюм. Съответно формулата за решаване на задачата ще бъде:

Р (А) = 9/36 = 0.25.

В резултат на това вероятността карта на сърдечния костюм да бъде изтеглена от тестето ще бъде 0,25.

За по-висока математика

Сега стана малко известно какво представлява теорията на вероятностите, формулите и примерите за решаване на задачи, които се срещат в учебната програма. Въпреки това, теорията на вероятностите се намира във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често те оперират с геометрични и статистически дефиниции на теорията и сложните формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. Формули и примери (висша математика) е по-добре да започнат да учат от малко - със статистическа (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия, но леко го разширява. Ако в първия случай е необходимо да се определи вероятността да се случи дадено събитие, то в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи това събитие. Тук въвеждаме нова концепция за "относителна честота", която може да бъде обозначена с W _n (A). Формулата не се различава от класическата:

W _n (A) = m / n.

Ако класическата формула е изчислена за прогнозиране, то статистическата формула е според резултатите от експеримента. Да вземем, например, една малка задача.

Отделът за контрол на процесите проверява продуктите за качество. Сред 100-те продукта, намерени 3 подстандартни. Как да се намери вероятността за честота на качествен продукт?

A = "появата на качествен продукт."

W _n (A) = 97/100 = 0.97

Така честотата на качествените стоки е 0.97. Къде са получили 97? От 100 проверени продукта, 3 са с лошо качество. От 100 изваждаме 3, получаваме 97, това е количеството качествен продукт.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теория на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако даден избор на А може да бъде направен по различни начини, а изборът на В е n по различни начини, тогава изборът на А и В може да се направи чрез умножение.

Например, от град А до град Б води 5 пътища. От град Б до град С води 4 пътя. Колко начина можете да получите от град А до град С?

Това е просто: 5x4 = 20, т.е. двадесет различни начина, по които можете да стигнете от точка А до точка С.

Нека усложним задачата. Колко начина за игра на карти в пасианс? В тесте от 36 карти това е началната точка. За да разберете броя на методите, трябва да „отнемете“ една карта от началната точка и да се умножите.

Това означава, че 36x35x34x33x32 ... x2x1 = резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че можете просто да го маркирате 36 !. Знакът “!” До число означава, че целият ред от числа се умножава заедно.

В комбинаториката има понятия като пермутация, разположение и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подреденият набор от елементи от множеството се нарича оформление. Разположенията могат да се повтарят, т.е. един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементи, които участват в разположението. Формулата за разположение без повторения ще бъде:

A _n ^m = n! / (Nm)!

Съединенията от n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат ​​пермутация. В математиката тя има формата: P _n = n!

Комбинациите от n елементи на m се наричат ​​такива съединения, в които е важно какви са те и какъв е техният общ брой. Формулата ще бъде:

A _n ^m = n! / M! (Nm)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както и във всяка дисциплина, съществуват творби на изтъкнати изследователи в своята област, които я довеждат до ново ниво. Една такава работа е формулата на Бернули, която позволява да се определи вероятността дадено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримента не зависи от появата или липсата на едно и също събитие в предишни или последващи тестове.

Уравнение на Бернули:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . P _n (m) = C _n ^m × p ^m × q ^nm .

Вероятността (p) от настъпването на събитие (A) е непроменена за всеки опит. Вероятността ситуацията да се появи точно m пъти в броя на експериментите ще бъде изчислена по формулата, представена по-горе. Следователно възниква въпросът как да се намери числото q.

q = 1-p

Ако възникне събитие А съответно няколко пъти, то може да не се случи. Единица е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от дадена ситуация в дадена дисциплина. Следователно, q е число, което показва възможността за ненастъпване на събитие.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми (първо ниво) ще бъдат разгледани по-нататък.

Задача 2: Посетителят на магазина прави покупка с вероятност 0.2. Само 6 посетители влязоха в магазина. Каква е вероятността посетителят да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, една или всички шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, използвайки формулата на Бернули.

A = "посетителят ще направи покупка."

В този случай: p = 0.2 (както е посочено в заданието). Съответно, q = 1-0.2 = 0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 посетители). Числото m ще варира от 0 (никой клиент не прави покупка) до 6 (всички посетители на магазина ще получат нещо). В резултат на това получаваме решение:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ P ₆ (0) = C ₀ ⁶ × p ⁰ × q ⁶ = q ⁶ = (0.8) ⁶ 0,2621. = 0.2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0.2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример, възникват въпроси за това къде са отишли ​​C и p. Относно p, числото в степен 0 ще бъде равно на единица. Що се отнася до C, тя може да бъде намерена по формулата:

C _n ^m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно, C = 1, което по принцип не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността за закупуване на стоки от двама посетители.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² P ₆ (2) = C ₆ ² × p ² × q ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0.8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 × 0.04 х 0.4096 = 0.246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, примери за която са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Пуасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на малко вероятни случайни ситуации.

Основната формула:

P _n (m) = λ ^m / m! e ^(-λ) . × e ^(-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето една проста формула на Поасон (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми ще бъдат разгледани по-късно.

Задача 3 : Заводът произвежда части в размер на 100 000 броя. Появата на дефектни части = 0.0001. Каква е вероятността партията да има 5 дефектни части?

Както виждаме, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчислението. Примери за решаване на подобни задачи не се различават от останалите задачи на дисциплината, в горната формула заместваме необходимите данни:

A = "случайно избрана част ще бъде дефектна."

р = 0.0001 (според състоянието на задачата).

п = 100,000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменете данните във формулата и ще получите:

R _100,000 (5) = 10 5/5! Xe ^-10 = 0.0375.

Също като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения с помощта на които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно д. По същество, тя може да бъде намерена по формулата:

e- ^λ = lim _{n -> ∞} (1-λ / n) ⁿ .

Съществуват обаче специални таблици, в които се намират почти всички e стойности.

Теоремата на Моивар-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на тестовете е достатъчно голям и вероятността за настъпване на събитие А е еднаква във всички схеми, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в серия от тестове може да бъде намерена с помощта на формулата на Лаплас.

P _n (m) = 1 / pnpq x ϕ (X _m ).

X _m = m-np / pnpq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примери за проблеми по-долу.

Задача 4: Рекламният агент разпространява 800 брошури. Според статистическите изследвания, всяка трета брошура намира своя потребител. Каква е вероятността точно 267 листовки да работят?

п = 800;

m = 267;

р = 1/3;

q = 2/3.

Първо намираме X _m , заместваме данните (всички те са изброени по-горе) във формулата и получаваме 0.025. Използвайки таблиците, намираме числото ϕ (0.025), чиято стойност е 0.3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

Р ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 х 1/3 х 2/3) х 0.3988 = 3/40 х 0.3988 = 0.03.

Така че вероятността това милостиня ще работи точно 267 пъти, е 0.03.

Формула Байес

Байесовата формула (теория на вероятностите), примери за решаване на задачи, с помощта на които ще бъде дадена по-долу, е уравнение, което описва вероятността на дадено събитие, основано на обстоятелства, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е както следва:

Р (А | B) = Р (В | А) х Р (А) / Р (В).

А и В са определени събития.

P (A | B) е условна вероятност, т.е. събитие А може да се случи, при условие че събитието В е вярно.

P (B | A) - условна вероятност на събитие B.

Така че, последната част на малък курс "Теория на вероятността" е формулата на Байес, примери за решения на проблеми, с които по-долу.

Задача 5 : Телефоните от три компании бяха донесени в склада. В същото време част от телефоните, произведени в първия завод, са 25%, на втория - 60%, на третия - 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втория - 4%, а в третия - 1%. Необходимо е да се намери вероятността случайно избраният телефон да бъде дефектен.

A = "случайно взет телефон."

B ₁ е телефонът, който произвежда първата фабрика. Съответно ще има встъпителни B2 и ₃ (за втората и третата фабрики).

В резултат получаваме:

Р (В1) = 25% / 100% = 0.25; Р (В2) = 0.6; P (B ₃ ) = 0,15 - така намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, т.е. вероятността от дефектни продукти във фирмите:

Р (А / В1) = 2% / 100% = 0.02;

Р (А / В2) = 0.04;

Р (А / ВЗ) = 0.01.

Сега ще заменим данните с формулата на Байес и ще получим:

Р (А) = 0.25 х 0.2 + 0.6 х 0.4 + 0.15 х 0.01 = 0.0305.

Статията представя теорията на вероятностите, формулите и примерите за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на обширна дисциплина. И след всичко, което е написано, ще бъде логично да се запитаме дали теорията на вероятностите е необходима в живота. Трудно е да отговаря един обикновен човек, по-добре е да попитате този, който многократно е счупвал джакпота с него.