Основните видове диференциални уравнения от първи ред

Намерете функцията f от някаква дадена зависимост, която включва самата функция с аргументи и нейните производни. Този тип проблем е от значение за физиката, химията, икономиката, технологиите и други области на науката. Такива зависимости се наричат ​​диференциални уравнения. Например, y '- 2xy = 2 е диференциално уравнение от първи ред. Нека видим как се решават тези типове уравнения.

Какво е това?

Уравнение, което изглежда по следния начин:

• f (y, y ', ..., y ⁽¹⁰⁾ , y ⁽¹¹⁾ , ..., y ^(k) , x) = 0,

Той се нарича обикновен difur и се характеризира като уравнение на ред k и зависи от x и производни y ', y' ', ... - до k-тата.

вид

В случая, когато функцията, която се намира в диференциалното уравнение, зависи от един единствен аргумент, типът на диференциалното уравнение се нарича обикновен. С други думи, в уравнението функцията f и всички нейни производни зависят само от аргумента x.

Когато търсената функция зависи от няколко различни аргумента, уравненията се наричат ​​частични диференциални производни. Като цяло те изглеждат по следния начин:

• f (x, f _x ', ..., y, f _y ' ..., z, ..., f _z '', ...),

където изразът f _x 'означава производна на функцията по отношение на аргумента x, а _fz ' 'е двойното производно на функцията по отношение на аргумента z, и така нататък.

решение

Лесно е да се отгатне какво точно се счита за решение на диференциала. уравненията. Тази функция, заместването на която в уравнението дава един и същ резултат от двете страни на знака за равенство, се нарича решение. Например уравнението t '' + a ² t = 0 има решение във формата t = 3Cos (ax) - Sin (ax):

След като извършим опростяването на уравнение 3, установяваме, че t '' + a ² t = 0 за всички стойности на аргумента x. Въпреки това, той трябва незабавно да направи резервация. Уравнението t = 3Cos (ax) - Sin (ax) не е единственото решение, а само едно от безкрайното множество, което се описва с формулата mCos (ax) + nSin (ax), където m и n са произволни числа.

Причината за тази връзка е дефиницията на примитивна функция в интегралното смятане: ако Q е примитивна (по-точно една от многото) за функцията q, то тогава (q (x) dx = Q (x) + C, където С е произволна константа, която се нулира обратна операция - вземане на производната на функцията Q '(x).

Ние пропускаме дефиницията на това, което е решение на уравнението на k-тия ред. Не е трудно да си представим, че колкото по-голям е редът на производната, толкова повече константи възникват в процеса на интеграция. Трябва също да се изясни, че описаното по-горе определение за решението не е пълно. Но за математиците от седемнадесети век е било достатъчно.

По-долу ще разгледаме само основните видове диференциални уравнения от първия ред. Най-основните и прости. В допълнение към тях има и други диференциали. уравнения: хомогенни, в пълни диференциали и Бернули. Но решението на всички често се свързва с метода на разделимите променливи, които ще бъдат разгледани по-долу.

Разделяне на променливите като решение

F = 0 - е разл. уравнение на реда 1. При решаването на този тип диференциални уравнения те лесно се свеждат до формата y '= f. Така например, уравнението e ^{y '} - 1 - xy = 0 се свежда до формата y' = ln (1 + xy). Операцията за редуциране на диференциално уравнение към тази форма се нарича нейната резолюция по отношение на деривата y '.

След като решите уравнението, трябва да го довеждате до диференциална форма. Това се прави чрез умножаване на всички части на равенството с dx. От y '= f получаваме y'dx = fdx. Предвид факта, че y'dx = dy, получаваме уравнението във вид:

• dy = f dx - което се нарича диференциална форма.

Очевидно е, че y '= f (x) е най-простото диференциално уравнение на първия ред. Решението му се постига чрез проста интеграция. По-сложна форма е q (y) * y '= p (x), в която q (y) е функция, зависеща от y, и p (x) е функция в зависимост от x. След като го доведем до диференциалната форма, получаваме:

• q (y) dy = p (x) dx

Лесно е да се разбере защо уравнението се нарича разделено: лявата му страна съдържа само променливата y, а дясната - само x. Такова уравнение се решава с помощта на следната теорема: ако функцията p има примитивен Р, а q има Q, то дифурният интеграл ще бъде Q (y) = P (x) + C.

Решете уравнението z '(x) ctg (z) = 1 / x. Като редуцираме това уравнение до диференциална форма: ctg (z) dz = dx / x; и вземане на интеграла от двете части на gctg (z) dz = dx / x; получаваме решение в общата форма: C + ln | sin (z) | = ln | x |. В името на красотата, това уравнение може да бъде записано в друга форма според правилата на логаритми, ако зададем C = ln W - получаваме W | sin (z) | = | x | или дори по-просто, WSin (z) = x.

Уравнения на формата dy / dx = q (y) p (x)

Разделянето на променливите може да се приложи към уравненията от вида y '= q (y) p (x). Необходимо е само да се вземе предвид случаят, когато q (y) за някакво число a изчезва. Това означава, че q (a) = 0. В този случай функцията y = a е решение, тъй като за нея y '= 0, следователно q (a) p (x) също е нула. За всички други стойности, където q (y) не е равно на 0, можем да напишем диференциалната форма:

• p (x) dx = dy / q (y),

интегриране, които получават общо решение.

Решете уравнението S '= t2 (Sa) (Sb). Очевидно корените на уравнението са числата a и b. Следователно S = a и S = ​​b са решения на това уравнение. За други стойности на S имаме диференциална форма: dS / [(Sa) (Sb)] = t ² dt. Откъдето е лесно да се получи общ интеграл.

Уравнения от вида H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0

Чрез решаване на този вид уравнение за у 'получаваме: y' = - C (x) D (y) / A (x) B (y). Диференциалната форма на това уравнение ще бъде както следва:

• W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0

За да решим това уравнение, трябва да разгледаме нулевите случаи. Ако а е коренът на W (x), то x = a е интеграл, тъй като от това следва, че dx = 0. По същия начин, в случая, ако b е коренът на M (y). Тогава за диапазона от стойности на x, за които W и M не изчезват, е възможно да се разделят променливите чрез разделяне на израза W (x) M (y). Тогава изразът може да бъде интегриран.

Много видове уравнения, на които на пръв поглед е невъзможно да се приложи разделянето на променливите, се оказват такива. Например, в тригонометрията това се постига чрез идентични трансформации. Също така често може да е подходящо да има някакво остроумен заместител, след което ще бъде възможно да се използва методът на разделени променливи. Видовете диференциални уравнения от първия ред могат да изглеждат по различен начин.

Линейни уравнения

Еднакво важен тип диференциални уравнения, решението на които се осъществява чрез заместване и редуциране на метода на разделени променливи.

• Q (x) y + P (x) y '= R (x) - е уравнение, което е линейно, когато се разглежда по отношение на функция и нейната производна. P, Q, R - са непрекъснати функции.

За случаите, когато P (x) не е равен на 0, е възможно уравнението да се редуцира във форма, разрешена по отношение на y ', като всички части се разделят на P (x).

• y '+ h (x) y = j (x), в която h (x) и j (x) са съотношенията на функциите Q / P и R / P, съответно.

Решение за линейни уравнения

Линейно уравнение може да се нарече хомогенно в случая, когато j (x) = 0, т.е. h (x) y + y '= 0. Такова уравнение се нарича хомогенно и лесно се разделя: y' / y = -h (x). Интегрирайки го, получаваме: ln | y | = -H (x) + ln (C). Където y се изразява във вид y = Ce ^{-H (x)} .

Например z '= zCos (x). Разделяйки променливите и свеждайки уравнението до диференциална форма, след това интегрирайки, получаваме, че общото решение ще има израза y = Ce ^{Sin (x)} .

Нееднаквото е линейно уравнение в общата му форма, т.е. j (x) не е равно на 0. Решението му се състои от няколко етапа. Първо трябва да решите хомогенното уравнение. Това означава, че j (x) е равен на нула. Нека u е едно от решенията на съответното хомогенно линейно уравнение. Тогава идентичността u '+ h (x) u = 0 притежава.

Изпълнете с y '+ h (x) y = j (x) промяна на формата y = uv и get (uv)' + h (x) uv = j (x) или u'v + uv '+ h (x) uv = j (x). След като приведем уравнението във вид u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), можем да видим, че в първата част u '+ h (x) u = 0. Където получаваме v' (x) = j (x) / u (x). От тук изчисляваме антидеривативното ∫v = V + С. След обратната замяна намираме y = u (V + C), където u е решението на хомогенното уравнение, а V е примитивната връзка j / u.

Намерете решението за уравнението y'-2xy = 2, което се отнася до вида на диференциалните уравнения от първия ред. За да направите това, първо решете хомогенно уравнение u '- 2xu = 0. Получаваме u = e ^2x + C. За простота решението е зададено на C = 0, защото за решаването на проблема се нуждаем само от едно от решенията, а не от всички видове опции.

Тогава заместваме y = vu и получаваме v '(x) u + v (u' (x) - 2u (x) x) = 2. Тогава: v '(x) e ^2x = 2, откъдето v' (x) ) = 2е ^-2х . Тогава примитивната V (x) = -∫e ^-2x d (-2x) = - e ^-2x + C. Като резултат, общото решение за y '- 2xy = 2 е y = uv = (-1) (e ^2x + C) ^e2x = - 1-Ce- ^2x .

Как да определим вида на диференциалното уравнение? За да направите това, разрешете го по отношение на деривата и вижте дали можете да използвате метода за разделяне на променливи директно или чрез заместване.