Диференциално хомогенно уравнение: характеристики и решение

Нека анализираме един от важните класове диференциални уравнения, които се решават чрез редуциране на метода на разделяне на променливите чрез заместване - хомогенни уравнения. Ще разгледаме методите на решение. линейни уравнения които често се бъркат с хомогенност.

Хомогенни уравнения

Като начало даваме определение. F е хомогенна, ако е вярно, че f (kx, ky) = f (x, y), където k е всяко ненулено число. Примери за хомогенна функция:

За да се провери тяхната хомогенност, достатъчно е аргументите на функцията F или A да се умножат с фактор и да се види дали той намалява.

Замяна на e (t) = f (1, t)

По-горе беше казано, че диференциалните уравнения с хомогенни функции се свеждат до отделими чрез заместване. За да обясните това, помислете за лемата.

Лема 1. Ако w е хомогенна функция на първа степен с аргументи x и y, тогава идентичността w (x, y) = e (y / x) е вярна и e (t) = f (1, t).

Тази лема се доказва по един тривиален начин: за това просто трябва да зададем k = 1 / x за всички ненулезни x.

Прилагане на замяна към решението y '= f (x, y)

Да предположим, че имаме y '= f, където f е хомогенна функция. За да решим хомогенно диференциално уравнение, основано на лема 1, можем да представим y '= e (y / x). Уравнението е разрешимо чрез разделяне на променливите. Нека y / x = v е желаната функция. Така че y = xv и y '= v + xv'. Получаваме уравнение на формата v + xv '= e (v) или xv' = e (v) - v.

Разгледайте го по-подробно. В този случай решенията на уравнението са всички стойности на v = v _n - точките, в които функцията [e (v) - v] изчезва. Съответно, стойностите на y _n = v _n x - са решението y '= e (y / x). В областта на стойностите, където [e (v) - v] не изчезва, може да се приложи разделяне на променливите. Това е:

Интегрирайки, получаваме решението E = ln | x | + C.

бележка

Помислете защо горната замяна работи при решаване на хомогенни диференциални уравнения. За да направите това, вземете общото решение E = ln | x | + C и замени x с kx и y с ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. На свой ред, изразът ln (k) + C може да бъде представен като W и след това решението ще изглежда като E = ln | x | + W.

Оказва се, че замяната на x с kx и y с ky води само до замяна на едно решение с друго, но от същия клас. С други думи, другото решение удовлетворява и първоначалното уравнение. Описаното свойство на координатната равнина се нарича homothety, т.е. интегралните криви на хомогенните диференциални уравнения се трансформират един в друг.

Пример 1

Като се има предвид уравнението l ² + ml + m ² l '+ m ² = 0. Намерете неговото решение. Едно неопитно око може бързо да заключи, че това уравнение не е хомогенно, тъй като заместването на km вместо m и kn вместо n не дава оригиналното уравнение. Грешката в този случай е, че уравнението не е било предварително разрешено по отношение на деривата n '. Нека го направим.

В тази форма е лесно да се определи, че уравнението е хомогенно.

Пристъпваме към решението чрез заместване на l / m = v. Получаваме l = vm и l '= mv' + v. Заместване на тези стойности в уравнението:

Получаваме mv '= - (v + 1) ² . Очевидно е, че точката -1 е „решението на nj на уравнението, а преди заместването n = -m. Когато v + 1 не е равна на нула, разделете променливите:

От полученото уравнение в диференциална форма лесно може да се намери общият интеграл:

Ще извършим замяна на връщане:

Също така не бива да забравяме преди това намереното решение n = -m.

Линейни диференциални уравнения

Често хомогенните диференциални уравнения се бъркат с линейните. За пълнота, нека разгледаме малко и този клас. Така че, диференциално уравнение се нарича линейно, в което функцията и нейната производна са подредени в линейна връзка, т.е. получаваме уравнение, което има следната форма:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - представляват всякакви функции.

За да се реши това уравнение за y ', е необходимо да се разгледат всички корени на o (x). Да предположим, че за някакво число o (x ₀ ) = 0, тогава едно от решенията на описаното уравнение е x ₀ , тъй като получаваме o (x ₀ ) dy = 0 и dx = 0. Това става очевидно, ако запишем диференциалната форма на уравнението, като умножим двете страни с dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Елиминирайки нулевите стойности на o (x), за останалите стойности на x, напишете уравнението в разрешената форма, като го разделите с o (x).

Решаване на линейни диференциални уравнения

В този клас уравнения има две възможности. Първият е, когато свободният член p (x) е нулев (хомогенен), а вторият е, когато p (x) е ненулева (нехомогенна). Така че имаме следните два случая:

• y '+ r (x) y = 0 е хомогенно уравнение.
• y '+ r (x) y = p (x) е нехомогенно уравнение.

Хомогенното лесно се редуцира до разделена форма y '/ y = -r (x) или dy / y = -r (x) dx. След интегрирането получаваме общото решение за хомогенни уравнения: y = Ce ^{–r (x)} .

В общия случай линейното уравнение (нехомогенно) се решава на няколко етапа:

1. Първо, съответното уравнение се решава равномерно: p (x) е условно равен на 0. Да предположим, че u е желаното решение, т.е. имаме u '+ r (x) u = 0. Запомни тази идентичност.
2. В нехомогенното уравнение се въвежда заместването y = uv, след което (uv) '+ (uv) r (x) = p (x). След като направихме някои трансформации, имаме v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). Припомняме идентичността от точка 1, получаваме v'u = p (x). В този случай примитив лесно се намира от v '= p / u.
3. В резултат на това нехомогенният разтвор се състои от две части: u (C + V), в която u е хомогенен разтвор с нулева константа, а V е примитивна за отношението p / u.

Друго объркване на хомогенни уравнения възниква при разглеждането на хомогенни системи от уравнения. Това обаче е друг въпрос, чието разглеждане е извън обхвата на този член.

примери

Предвид проблема. Необходимо е да се намери решение.

Очевидно е, че това уравнение е неравномерно, затова първо решаваме следното уравнение:

Трябва да се отбележи, че едно от решенията на уравнението е y = 0. Намирането на общо решение става чрез диференциална форма, която ви позволява да използвате разделянето на променливите:

Интеграцията води до решение: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Като представяте А като ln B, можете да напишете решението по-елегантно:

Решението на нехомогенното уравнение е възможно да се извърши в друг, по подобен начин, който се нарича метод на вариация на константата или метода на Лагранж. Ние го описваме теоретично.

В диференциално уравнение на формата r (x) y + y '= p (x) променяме y = c (x) e- ^{R (x)} , при което R (x) е примитивно r (x), а с (x) - неизвестна функция, която трябва да се определи.

След всички преобразувания се оказва, че c '(x) = e ^{R (x)} f (x). Откъдето с (x) се интегрира лесно. Подменяйки c (x) обратно на y = c (x) e- ^{R (x)} , получаваме y = e- ^{R (x)} c (x) + De- ^{R (x)} - общото решение на уравнението, където D е константа , което се случва, когато c (x) е интегриран.

Използвайки метода на Лагранж за нашия проблем, задаваме:

Подменяйки тази промяна в оригиналното уравнение, намираме, че c (t) = (1/2) t ² . Пишем решението на неоднородното уравнение:

Обмислете друг пример. Намерете решения (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Отбележете, че y = 0 е едно от решенията на уравнението. Използвайки този факт, можем да разделим всички части на уравнението с израза y ² dy. След извършване на някои трансформации получаваме:

Трябва да се отбележи, че като че ли сме развили зависимост. Защо не? Х и у във функцията са равни и зависят един от друг. Сега не решаваме функцията y (x), но x (y) и x ' _{y не} са нищо друго, освен производна на функцията x (y) по отношение на променливата y. Или dx / dy. В тази форма е лесно да се определи, че имаме работа с едно неоднородно уравнение, така че решаваме това хомогенно уравнение по следния начин:

Получаваме x = Cy ² e ^{1 / y} . Остава само да се намери решение на първоначалното уравнение чрез вариационен метод, поставяйки x = y ² c (y) e ^{1 / y} . След заместването на това заместване в уравнението имаме:

От където изчисляваме, че c (y) = e ^{-1 / y} + D. Решението на проблема ще бъде следното:

у = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Разгледахме начини за решаване на линейни хомогенни уравнения.