Намерете периметъра на триъгълника по различни начини.
Периметърът на всеки триъгълник е дължината на линията, ограничаваща формата. За да го изчислите, трябва да знаете сумата от всички страни на този полигон.
Изчисляване от тези странични дължини
Когато тяхното значение е известно, е лесно да се направи. Обозначавайки тези параметри с буквите m, n, k и периметъра с буквата P, получаваме формулата за изчислението: P = m + n + k. Задача: Известно е, че триъгълникът има страни с дължина 13.5 дециметра, 12.1 дециметра и 4.2 дециметра. Разберете периметъра. Ние решаваме: Ако страните на даден полигон са a = 13.5 dm, b = 12.1 dm, c = 4.2 dm, то P = 29.8 dm. Отговор: P = 29,8 dm.
Периметърът на триъгълник, който има две равни страни
Такъв триъгълник се нарича равнобедрен. Ако тези равни страни са дълги сантиметри, а третата страна - сантиметри, то периметърът лесно се разпознава: P = b + 2a. Задача: триъгълникът има две страни от 10 дециметра, основата е 12 дециметра. Намери P. Решение: Нека a = c = 10 dm, основата b = 12 dm. Сумата на страните е P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Отговор: P = 32 дециметра.
Периметър на равностранен триъгълник
Ако и трите страни на триъгълника имат еднакъв брой единици, той се нарича равностранен. Друго име е вярно. Периметърът на правилния триъгълник се намира по формулата: P = a + a + a = 3 · a. Задача: Имаме равностранен триъгълен парцел. Едната страна е 6 метра. Намерете дължината на оградата, която може да обхване тази област. Решение: Ако страната на този полигон е a = 6m, тогава дължината на оградата е P = 3,6 = 18 (m). Отговор: P = 18 m.
Триъгълник с ъгъл 90 °
Тя се нарича правоъгълна. Наличието на прав ъгъл дава възможност да се намерят неизвестни страни, като се използва дефиницията на тригонометричните функции и Питагоровата теорема. Най-дългата страна се нарича хипотенуза и се обозначава с c. Има още две страни, a и b. Следвайки теоремата, носеща името на Питагор, имаме c 2 = a 2 + b 2 . Краката са a = √ (c 2 - b 2 ) и b = √ (c 2 - a 2 ). Знаейки дължината на двата крака a и b, изчисляваме хипотенузата. След това намираме сумата от страните на фигурата, добавяйки тези стойности. Посещение: Cateta правоъгълен триъгълник имат дължина 8,3 сантиметра и 6,2 сантиметра. Периметърът на триъгълника трябва да се изчисли. Ние решаваме: Краката a = 8.3 cm, b = 6.2 cm Следвайки теоремата на Питагор, хипотенузата е c = √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = √ (68.89 + 38.44) = 7107 33,30,4 (cm). Р = 24.9 (cm). Или Р = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = 24.9 (cm). Отговор: Р = 24,9 см. Стойностите на корените бяха взети до десето. Ако знаем стойностите на хипотенузата и крака, тогава стойността на Р ще бъде получена чрез изчисляване на P = √ (c 2 - b 2 ) + b + c. Задача 2: Парцел, разположен срещу ъгъл от 90 градуса, 12 km, един от краката е 8 km. Колко време можете да обиколите цялата област, ако се движите със скорост 4 километра в час? Решение: ако най-големият сегмент е 12 km, по-малко от b = 8 km, тогава дължината на целия път ще бъде P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2 ) = 20 + =80 = 20 + 8.9 = 28.9 ( км). Ще намерим време, като разделим пътя със скорост. 28,9: 4 = 7,225 (h). Отговор: можете да се придвижвате за 7.3 часа квадратни корени и отговорът ни отнема до една десета. Можете да намерите сумата от страните на правоъгълен триъгълник, ако е дадена една от страните и стойността на един от острите ъгли. Знаейки дължината на крака b и стойността на противоположния ъгъл β, намираме неизвестната страна a = b / tg β. Намерете хипотенузата c = a: sinα. Периметърът на такава фигура се намира чрез добавяне на получените стойности. P = a + a / sinα + a / tg α, или P = a (1 / sin α + 1 + 1 / tg α). Задача: В правоъгълен Δ АВС с прав ъгъл С, краката на слънцето са с дължина 10 м и ъгълът А е 29 градуса. Необходимо е да се намери сумата на страните Δ АВС. Решение: Познаваме познатия крак ВС = а = 10 м, ъгълът, намиращ се срещу него, =А = α = 30 °, след това крака AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), хипотенуза AB = c = 10: 0.5 = 20 (m). Р = 10 + 17.2 + 20 = 47.2 (m). Или P = 10 · (1 + 1.72 + 2) = 47.2 м. Имаме: P = 47.2 м. Приемаме стойността на тригонометричните функции с точност от стотна, дължината на страните и периметъра се закръгляват до десетата. Като имаме стойността на крака α и съседния ъгъл β, ще установим, че вторият крак е равен на: b = a tan β. Хипотенузата в този случай ще бъде равна на крака, разделен от косинуса на ъгъла β. Периметърът е известен с формулата P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1 + 1: cos β) · a. Задача: Кракът на триъгълника с ъгъл от 90 градуса 18 см, съседният ъгъл е 40 градуса. Намерете P. Решение: Познаваме познатия крак BC = 18 cm, =β = 40 °. Тогава неизвестният крак AC = b = 18 · 0.83 = 14.9 (cm), хипотенузата AB = c = 18: 0.77 = 23.4 (cm). Сумата от страните на фигурата е равна на Р = 56,3 (cm). Или P = (1 + 1.3 + 0.83) * 18 = 56.3 cm. Отговор: P = 56.3 cm. Ако дължината на хипотенузата c и всеки ъгъл α е известен, краката ще бъдат равни на произведението на хипотенузата за първата - на синуса и за втората - на косинуса на този ъгъл. Периметърът на тази цифра е P = (sin α + 1 + cos α) * c. Задача: Хипотенуза на правоъгълен триъгълник AB = 9,1 сантиметра и ъгъл от 50 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Нека да обозначим хипотенузата: AB = c = 9.1 cm, =A = α = 50 °, тогава една от краката на BC има дължина a = 9.1 · 0.77 = 7 (cm), ACH = b = 9 1, 0.64 = 5.8 (cm). Така периметърът на този полигон е P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (cm). Или Р = 9.1 · (1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (cm). Отговор: P = 21,9 сантиметра.
Произволен триъгълник, едната страна на който е неизвестен
Ако имаме стойностите на двете страни a и c, а ъгълът между тези страни е γ, намираме третата косинусова теорема: b2 = s 2 + a 2 - 2 as cos β, където β е ъгълът между страните a и c. Тогава ще намерим периметъра. Задача: Δ АВС има сегмент AB с дължина 15 dm, сегмент от AU, дължината на който е 30.5 dm. Ъгълът между тези страни е 35 градуса. Изчислява се сумата на страните Δ ABC. решение: Косинусова теорема изчисли дължината на третата страна. BC 2 = 30.5 2 + 15 2 - 2 · 30.5 · 15 · 0.82 = 930.25 + 225 - 750.3 = 404.95. BC = 20.1 cm P = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (dm) Имаме: P = 65.6 dm.
Сумата от страните на произволен триъгълник, чиито дължини на двете страни са неизвестни
Когато знаем дължината само на един сегмент и стойността на два ъгъла, можем да намерим дължината на две неизвестни страни, използвайки синусната теорема: “в триъгълник страните винаги са пропорционални на синусоидите на противоположните ъгли”. Където b = (a * sin β) / sin a. По същия начин, c = (sin γ): sin a. Периметърът в този случай ще бъде P = a + (sin β) / sin a + (sin γ) / sin a. Задача: Имаме Δ ABC. В него дължината на страната BC е 8,5 mm, стойността на ъгъла C е 47 °, а ъгълът B е 35 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Означаваме дължините на страните BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, = A = α = 47 °, =B = β = 35 °, = C = γ = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. От съотношенията, получени от теоремата на синуса, намираме краката AC = b = (8.5 · 0.57): 0.73 = 6.7 (mm), AB = c = (7 · 0.99): 0.73 = 9.5 (mm). Следователно сумата на страните на този полигон е P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Отговор: P = 23.5 mm. В случая, когато има само дължината на един сегмент и стойностите на два съседни ъгъла, първо се изчислява ъгълът, противоположен на познатата страна. Всички ъгли на тази фигура имат общо 180 градуса. Следователно, =A = 180 ° - (+B + )C). След това намираме неизвестните сегменти, като използваме синусната теорема. Задача: Имаме Δ ABC. Той има сегмент BC равен на 10 см. Ъгълът B е 48 градуса, ъгълът C е 56 градуса. Намерете сумата на страните Δ abc. Решение: Първо, намерете стойността на ъгъла А, противоположен на страната на ВС. =A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Сега с теоремата синус, нека да изчислим дължината на страната AC = 10,70: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8.6. Периметърът на триъгълника е P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (cm). Резултат: P = 26,2 cm.
Изчисляване на периметъра на триъгълник, използвайки радиуса на вписания в него кръг
Понякога нито едно от условията на проблема не е известно. Но има стойност триъгълна зона и радиуса на вписания в него кръг. Тези стойности са свързани: S = r p. Знаейки стойността на площта на триъгълник, радиус r, можем да намерим полупериметър p. Намерете p = S: r. Задача: Парцелът е с площ от 24 m 2 , радиусът r е 3 м. Намерете броя на дърветата, които трябва да бъдат засадени равномерно по линията, обхващаща този участък, ако има разстояние от 2 метра между два съседни. Решение: Сумата от страните на тази фигура се намира, както следва: P = 2 24: 3 = 16 (m). След това разделете на две. 16: 2 = 8. Общо: 8 дървета.
Сумата от страните на триъгълника в декартови координати
Вертикалите Δ АВС имат координати: A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ). Намерете квадратите на всяка страна AB 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ; AC 2 = (x 1 - x 3 ) 2 + (y 1 - y 3 ) 2 . За да намерите периметъра, е достатъчно да добавите всички сегменти. Задача: Вертикални координати Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: поставяйки стойностите на съответните координати в периметровата формула, получаваме P = √ (4 + 9) + √ (1 + 25) + √ (1 + 64) = +13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6. Имаме: P = 16.6. Ако фигурата не е на равнина, а в пространството, тогава всеки от върховете има три координати. Следователно сумата на страните ще има още един мандат.
Вектор метод
Ако формата е зададена от координатите на върховете, периметърът може да се изчисли с помощта на векторния метод. Векторът е сегмент, имащ посока. Неговият модул (дължина) е обозначен със символа. Разстоянието между точките е дължината на съответния вектор или модула на вектора. Помислете за триъгълник, разположен на равнина. Ако върховете имат координати A (x 1 ; y 1 ), M (x 2 ; y 2 ), T (x 3 ; y 3 ), то дължината на всяка страна се намира по формулите: AM = √ ((x 1 - x 2) ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 ). Периметърът на триъгълник се получава чрез добавяне на дължините на векторите. По същия начин намери сумата от страните на триъгълника в пространството.