Как да се изчисли площта на триъгълник

Триъгълникът е добре позната фигура. И това, въпреки богатото разнообразие на неговите форми. Правоъгълна, равностранена, остра, равностранена, тъпа. Всеки един е различен. Но за всеки, който трябва да познаваш областта на триъгълника.

Обща за всички триъгълници формули, които използват дължината на страните или височини

Приетите в тях обозначения: страните - a, b, c; височини на съответните страни n _и , n _в , n _с .

1. Площта на триъгълника се изчислява като произведение от ½, страните и височината, спуснати върху нея. S = ½ * a * n _a . По същия начин трябва да напишете формулата за другите две страни.

2. Формула на Херон, в която се появява полу-периметърът (обикновено се обозначава с малката буква р, за разлика от целия периметър). Полу-периметърът трябва да се брои по следния начин: сложете всички страни и ги разделете с 2. Полу-периметровата формула: p = (a + b + c) / 2. Тогава равенството за площта на фигурата изглежда така: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ако не искате да използвате полупериметър, полезна е формула, в която са налице само дължините на страните: S = √ * √ (((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Тя е малко по-дълга от предишната, но ще помогне, ако сте забравили как да намерите полу-периметър.

Общи формули, в които се появяват ъглите на триъгълника

Обозначения, които се изискват за четене на формулите: α, β, γ - ъгли. Те лежат противоположно на страните съответно a, b, c.

1. Според него половината от произведението на двете страни и синусът на ъгъла между тях са равни на площта на триъгълника. Това е: S = ½ a * b * sin γ. По същия начин, формулите трябва да бъдат написани за другите два случая.

2. Площта на триъгълника може да се изчисли от едната страна и от три известни ъгли. S = (a ² * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Съществува и формула с една добре позната страна и две ъгли, съседни на нея. Това изглежда така: S = c ² / (2 (ctg α + ctg β)).

Последните две формули не са най-лесните. Запомни ги доста трудно.

Общи формули за ситуацията, когато са известни радиусите на вписаните или описаните кръгове.

Допълнителни обозначения: r, R - радиуси. Първият се използва за радиуса на вписания кръг. Вторият е за описаното.

1. Първата формула, с която се изчислява площта на триъгълника, е свързана с полупериметър. S = p * r. По друг начин тя може да бъде записана по следния начин: S = ½ r * (a + b + c).

2. Във втория случай ще трябва да умножите всички страни на триъгълника и да ги разделите с четворния радиус на окръжност. В буквален смисъл изглежда така: S = (a * c * s) / (4R).

3. Третата ситуация ви позволява да правите, без да знаете страните, но ще се изискват стойностите на всичките три ъгъла. S = 2 R2 ² sin α * sin β * sin γ.

Специален случай: правоъгълен триъгълник

Това е най-простата ситуация, тъй като изисква познаване само на дължината на двата крака. Те се обозначават с латински букви a и c. Областта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълника, завършен до нея.

Математически, изглежда така: S = ½ a * c. Най-лесно се помни. Тъй като изглежда като формула за площта на правоъгълник, се появява само друга фракция, която означава половината.

Специален случай: равнобедрен триъгълник

Тъй като има две равни страни, някои формули за неговата област изглеждат малко опростени. Например формулата на Heron, която изчислява площта на равнобедрен триъгълник, приема следната форма:

S = ½ в √ (((a + ½ in) * (a - ½ in)).

Ако го конвертирате, тя ще стане по-кратка. В този случай формулата на Херон за равнобедрен триъгълник се записва като:

S = в √ (4 * a ² - b ² ).

Донякъде по-просто, отколкото за произволен триъгълник, формулата на областта изглежда, ако страните и ъгълът между тях са известни. S = ½ a ² * sin β.

Специален случай: равностранен триъгълник

Обикновено в проблеми около него е известна от страната или можете по някакъв начин да разберете. Тогава формулата, която е областта на такъв триъгълник, изглежда така:

S = (a ² ) 3) / 4.

Задачи за намиране на зоната, ако триъгълникът е изобразен на карирана хартия

Най-простата е ситуацията, когато правият триъгълник е съставен така, че краката му съвпадат с линиите на хартията. Тогава просто трябва да преброите броя на клетките, които се вписват в краката. След това ги умножи и раздели на две.

Когато триъгълникът е остър или заоблен, той трябва да бъде привлечен към правоъгълника. Тогава в получената форма ще има 3 триъгълника. Единият е даден в проблема. А другите две - помощни и правоъгълни. Определете площта на последните две нужди за горния метод. След това пребройте площта на правоъгълника и извадете от нея тези, които са изчислени за помощния. Определя се площта на триъгълника.

Много по-трудно е положението, при което нито една от страните на триъгълника не съвпада с линиите на хартията. Тогава тя трябва да бъде вписана в правоъгълник, така че върховете на оригиналната фигура да лежат по страните му. В този случай ще има три допълнителни правоъгълни триъгълника.

Пример за проблема по формулата на Жирона

Състояние. Някои триъгълници имат страни. Те са равни на 3, 5 и 6 см. Трябва да знаете нейната област.

Решението. На първо място е необходимо да се преброи полу-периметърът на триъгълник. Направете сумата от трите, дадени в проблема, числата и я разделете на две. Обикновено изчисленията водят до номер 7. Това е стойността на половин метър.

Сега можете да изчислите площта на триъгълника, като използвате горната формула. под квадратен корен Оказва се, че произведението от четири числа: 7, 4, 2 и 1. Това означава, че площта е √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ако не се изисква по-голяма точност, можете да извлечете корен квадратен от 14. Той е равен на 3.74. Тогава площта ще бъде равна на 7.48.

Отговорът е. S = 2 х 14 cm ² или 7.48 cm2.

Пример за проблем с правоъгълен триъгълник

Състояние. Един крак на правоъгълен триъгълник е 31 см по-дълъг от втория и трябва да знаете дължината им, ако площта на триъгълника е 180 см ² .
Решението. Ще трябва да решим една система от две уравнения. Първият е свързан с квадрата. Вторият е с отношението на краката, което се дава в проблема.
180 = ½ a * c;

a = at + 31.
Първо, стойността на "а" трябва да бъде заместена в първото уравнение. Оказва се: 180 = ½ (в + 31) * c. Тя има само едно неизвестно количество, така че е лесно да се реши. След отваряне на скобите се получава квадратично уравнение: в ² + 31 in - 360 = 0. Тя дава две стойности за "in": 9 и - 40. Второто число не е подходящо като отговор, тъй като дължината на страната на триъгълника не може да бъде отрицателна стойност.

Остава да изчислим втория крак: добавете 31 към полученото число Оказва се, че 40. Това са количествата, търсени в проблема.

Отговорът е. Краката на триъгълника са 9 и 40 cm.

Задачата да се намери страна през областта, страни и ъгъл на триъгълника

Състояние. Площта на триъгълника е 60 cm ² . Необходимо е да се изчисли една от страните му, ако втората страна е 15 cm, а ъгълът между тях е 30º.

Решението. Въз основа на приетата нотация, желаната страна "а", известна "в", е даден ъгъл "у". Тогава формулата на областта може да бъде пренаписана като:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Тук синусът от 30 градуса е 0.5.

След трансформацията, "а" е равно на 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Това е 16.

Отговорът е. Необходимата страна е 16 cm.

Проблемът с квадрат, вписан в правоъгълен триъгълник

Състояние. Горната част на квадрат със страна 24 cm съвпада с десния ъгъл на триъгълника. Други двама лежат по краката. Третият принадлежи на хипотенузата. Дължината на единия крак е 42 см. Каква е площта на правоъгълен триъгълник?

Решението. Помислете за два правилни триъгълника. Първата е дадена в задачата. Вторият се основава на познатия крак на първоначалния триъгълник. Те са сходни, тъй като имат общ ъгъл и се формират от паралелни линии.

Тогава отношенията на краката им са равни. Краката на по-малкия триъгълник са 24 см (страна на квадрата) и 18 см (дадената крака 42 см изважда страната на квадрата 24 см). Съответните крака на големия триъгълник са 42 см и х см. Това е “х”, което е необходимо, за да се изчисли площта на триъгълника.

Х = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Тогава площта е равна на произведението от 56 и 42, разделени на две, т.е. 1176 cm ² .

Отговорът е. Необходимата площ е 1176 cm ² .