Всички тънкости за това как да се изчисли площта на паралелепипеда

Паралелепипедът е най-често срещаната фигура сред хората около хората. Повечето от помещенията са негови. Особено важно е да се знае зоната на паралелепипеда, поне неговите странични повърхности, по време на ремонта. В края на краищата, трябва да знаете точно колко материал да закупите.

Какъв е той?

Това е призма с четириъгълна основа. Затова има четири странични страни, които са успоредни. Това означава, че такова тяло има само 6 лица.

За да се определи паралелепипедът в пространството, той определя площта и обема. Първият може да бъде както поотделно за всяка страна, така и за цялата повърхност. Освен това излъчват повече и само страничните повърхности.

Какви са видовете паралелепипеди?

Наклонена. Този, при който страничните повърхности образуват ъгъл с основата, която е различна от 90 градуса. Неговите горни и долни четириъгълници не лежат един срещу друг, а са изместени.

Direct. Паралелепипед, чиито странични повърхности са правоъгълници, а в основата е фигура с произволни ъгли.

Правоъгълна. Специален случай от предишния тип: в основата му е правоъгълник.

Cube. Специален тип паралелепипед, в който всички лица са представени с квадрати.

Някои математически характеристики на паралелепипеда

Възможно е да възникне ситуация, когато те са полезни за намиране на зоната на паралелепипед.

• Ръбовете, които лежат един срещу друг, са не само паралелни, но и равни.
• Диагоналът на паралелепипедната пресечна точка е разделен на равни части.
• В по-общ случай, ако един сегмент свързва две точки на повърхността на тялото и минава през точката на пресичане на диагоналите, тогава той се разделя наполовина от тази точка.
• За правоъгълен паралелепипед важи равенството, в което в една част има квадрат на диагонала, а в другия - сумата на квадратите на нейната височина, ширина и дължина.

Квадратен паралелепипед

Ако обозначим височината на тялото като "n", а базовата периметър с буквата "R", тогава цялата странична повърхност може да се изчисли по формулата:

S _side = P _oc * n

Използвайки тази формула и определяйки площта на базата, можем да преброим общата площ:

S = S _страна + 2 * S _oc

В последния запис S _oc ., Т.е. площта на основата на паралелепипеда, може да се изчисли по формулата за паралелограма. С други думи, имате нужда от израз, в който трябва да умножите страната и височината, сведена върху нея.

Квадратен паралелепипед

Прието е стандартното обозначение на дължината, ширината и височината на такова тяло с буквите “а”, “б” и “с”. Площта на страничната повърхност се изразява по формулата:

S _side = 2 * s * (a + b)

За изчисляване на общата площ на правоъгълния паралелепипед е необходим следният израз:

S = 2 * (aw + bs + as)

Ако се окаже необходимо да се знае областта на неговата база, достатъчно е да си припомним, че това е правоъгълник, което означава, че е достатъчно да се умножат "а" и "с".

Квадратно кубче

Страничната му повърхност е оформена от четири квадрата. Така че, за да го намерите, трябва да използвате добре познатата формула за квадрата и да я умножите по четири.

S _side = 4 * a ²

И поради факта, че неговите бази са едни и същи квадрати, общата площ се определя по формулата:

S = 6 * a ²

Наклонени паралелепипедни квадрати

Тъй като лицата му са успоредни, трябва да откриете областта на всяка от тях и след това да я сгънете. За щастие, обратното е равно. Затова трябва да изчислите площта само три пъти и след това ги умножете по две. Ако напишете това под формата на формула, получавате следното:

S _страна = (S ₁ + S ₂ ) * 2,

S = (S1 + S2 + S3) * 2

Тук S ₁ и S ₂ са зоните на двете странични страни, а S3 са бази.

Свързани задачи

Първата задача. Състояние. Трябва да знаете дължината диагонален куб, ако площта на цялата му повърхност е 200 mm ² .

Решението. Трябва да започнем, като получим израз за желаната стойност. Квадратът му е равен на три квадрата от страната на куба. Това означава, че диагоналът е равен на "а", умножен по корена на 3.

Но страната на куба е неизвестна. Тук ще трябва да се възползвате от факта, че цялата повърхност е известна. От формулата се оказва, че "а" е равно на квадратен корен от частни S и 6.

Остава само да се брои. Краят на куба е √ (200/6), което е 10 / √3 (mm). Тогава диагоналът ще бъде равен на (10 / )3) * √3 = 10 (mm).

Отговорът е. Диагоналът на куба е 10 мм.

Втората задача. Състояние. Трябва да се изчисли площ на куба, ако е известно, че неговият обем е 343 cm2.

Решението. Ще трябва да използвате същата формула за кубичната област. Отново, това е отново неизвестен край на тялото. Но като се има предвид обемът. От формулата за куба е много лесно да се научи "а". Тя ще бъде равна на кубичен корен Обикновено изчисление дава стойността за ръба: a = 7 cm.

Сега остава да преброи квадрат и да се умножи по 6. a ² = 7 ² = 49, следователно площта ще бъде равна на 49 * 6 = 294 (cm2).

Отговорът е. S = 294 cm2.

Третата задача. Състояние. Дадена е правилна четириъгълна призма с основа от 20 dm. Необходимо е да се намери нейният страничен ръб. Известно е, че площта на паралелепипеда е равна на 1760 dm ² .

Решението. Започнете разсъжденията с формулата за площта на цялата повърхност на тялото. Само в него трябва да се има предвид, че ръбовете "а" и "б" са равни. Това следва от твърдението, че призмата е правилна. Така че в основата му лежи четириъгълник с равни страни. Следователно a = c = 20 dm.

Като се има предвид това обстоятелство, формулата за площ се опростява до следното:

S = 2 * (a ² + 2c).

В него всичко е известно, с изключение на желаната стойност “c”, която е точно страничния ръб на паралелепипеда. За да го намерите, трябва да извършите реализацията:

• да разделим цялото неравенство на 2;
• след това преместете термините така, че лявото е 2а, а от дясно е областта, разделена на 2 и квадрат "а", като последната е маркирана с "-";
• след това разделете равенството на 2а.

Резултатът е изразът:

c = (s / 2 - a ² ) / (2a)

След замяна на всички известни стойности и извършване на действия, се оказва, че страничният ръб е равен на 12 dm.

Отговорът е . Страничният ръб "с" е 12 dm.

Четвъртата задача. Състояние. При правоъгълен паралелепипед. Една от лицата му е с площ 12 cm ² . Необходимо е да се изчисли дължината на ръба, която е перпендикулярна на това лице. Допълнително условие: обемът на тялото е 60 cm ³ .

Решението. Нека площта на лицето, която е разположена срещу наблюдателя, да бъде известна. Ако стандартните букви за размери на паралелепипед са взети за обозначение, то в основата на реброто ще има "а" и "б", а вертикалната - "в". Въз основа на това, площта на известно лице се дефинира като продукт „а” на „с”.

Сега трябва да използвате известен обем. Неговата формула за правоъгълен паралелепипед дава произведението на трите величини: "а", "в" и "с". Това означава, че известната област, умножена по "in", дава обема. Оттук се оказва, че желаният ръб може да бъде изчислен от уравнението:

12 * = 60.

Елементарното изчисление дава резултат 5.

Отговорът е. Желаният ръб е 5 cm.

Петата задача. Състояние. Като се има предвид прав паралелепипед. В основата му е успоредник със страни от 6 и 8 cm, остър ъгъл между който е 30º. Страничният ръб е с дължина 5 см. Необходимо е да се изчисли общата площ на паралелепипеда.

Решението. Такъв е случаят, когато трябва да знаете зоната на всички лица поотделно. Или по-точно три двойки: основата и двете страни.

Тъй като в основата е разположен успоредник, неговата площ се изчислява като произведение на страната и височината към нея. Страната е известна, но височината не е. Трябва да се брои. Това ще изисква остра стойност на ъгъла. Височината се формира в паралелограма правоъгълен триъгълник. В него кракът е равен на произведението на синуса на острия ъгъл, който е противоположен на него от хипотенузата.

Нека известната страна на успоредника е “а”. Тогава височината ще бъде записана като * sin 30º. По този начин, основната площ е * c * sin 30º.

С страничните ръбове всичко е по-лесно. Те са правоъгълници. Следователно тяхната площ е продукт от едната страна на другата. Първият - a * s, вторият - в * s.

Остава да комбинирате всичко в една формула и да преброите:

S = 2 * (a * b * sin 30º + a * s + b * s)

След подмяната на всички количества се оказва, че необходимата площ е 188 cm2.

Отговорът е. S = 188 cm2.