Какво е синус и косинус в тригонометрията?

06.06.2019

Учителите вярват, че всеки ученик трябва да може да извършва изчисления, да знае тригонометрични формули, но не всеки учител обяснява какво са синус и косинус. Какво е тяхното значение, къде се използват? Защо говорим за триъгълници, а в учебника е очертан кръг? Нека се опитаме да обвържем всички факти.

Училищен предмет

Проучването на тригонометрията обикновено започва в 7-8 клас. По това време на учениците се казва какво са синус и косинус, те предлагат да решат геометрични проблеми, като използват тези функции. По-късно се появяват по-сложни формули и изрази, които се изискват да бъдат трансформирани по алгебричен начин (формули на двойни и половин ъгли, силови функции), а работата се извършва с тригонометричен кръг.

какво е синус и косинус Въпреки това учителите не винаги могат ясно да обяснят значението на използваните понятия и приложимостта на формулите. Затова ученикът често не вижда смисъл в тази тема и запаметената информация бързо се забравя. Все пак си струва да се обясни веднъж на ученик от гимназията, например връзката между функцията и колебателните движения и логическата връзка ще бъдат запомнени от много години, а шегите за безполезността на темата ще бъдат от миналото.

Използване на

Нека да погледнем заради любопитството в различни части на физиката. Искате ли да определите обхвата на снаряда? Или да изчислите силата на триене между обект и определена повърхност? Разклащането на махалото, гледането на лъчите, преминаващи през стъклото, изчислява индукцията? На практика във всяка формула се появяват тригонометрични понятия. И така, какво е синус и косинус?

дефинира

Синусът на ъгъла е съотношението на противоположния крак към хипотенузата, косинусът на съседния крак е същият за същата хипотенуза. Няма абсолютно нищо сложно. Може би учениците обикновено са объркани от стойностите, които виждат в тригонометричната таблица, защото се появяват квадратни корени. Да, излез от тях десетични дроби не е много удобно, но кой каза, че всички числа в математиката трябва да бъде дори?

синуси и косинуси от ъгли Всъщност в проблемните книги на тригонометрията можете да намерите смешен намек: повечето от отговорите тук са дори и в най-лошия случай съдържат корена на две или три. Изводът е прост: ако в отговора получите „многоетажна“ фракция, проверете отново решението за грешки в изчисленията или в аргументите. И най-вероятно ще ги намерите.

Какво трябва да запомните

Както във всяка друга наука, в тригонометрията има такива данни, които трябва да бъдат научени.

Първо, запомнете числените стойности за синусите, косинусите правоъгълен триъгълник 0 и 90, както и 30, 45 и 60 градуса. Тези показатели се намират в девет от десетте училищни задачи. Контролирайки тези стойности в учебника, ще изгубите много време и няма да има място за гледане на теста или изпита.

синусоидални косинуси на правоъгълник Трябва да се помни, че стойността на двете функции не може да надвишава една. Ако някъде в изчисленията получите стойност извън диапазона 0-1, спрете и решете проблема отново.

Сумата от квадратите на синуса и косинуса е равна на единица. Ако вече сте намерили една от стойностите, използвайте тази формула, за да намерите останалите.

теорема

В основната тригонометрия има две основни теореми: синуси и косинуси.

Първият казва, че съотношението на всяка страна на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е същото. Вторият е, че квадратът на която и да е страна може да бъде получен чрез добавяне на квадратите на двете останали страни и изваждане на удвоения им продукт, умножен по косинуса на ъгъла между тях.

Така, ако сте в косинусова теорема Заменяйки стойността на ъгъла от 90 градуса, получаваме ... Питагоровата теорема. Сега, ако искате да изчислите площта на фигура, която не е правилен триъгълник, вече не можете да се притеснявате - двете разглеждани теореми значително ще опростят решението на проблема.

Цели и цели

Проучването на тригонометрията ще бъде значително опростено, когато осъзнаете един прост факт: всички действия, които изпълнявате, са насочени към постигане само на една цел. Всички параметри на триъгълник могат да бъдат намерени, ако знаете минималната информация за него - тя може да бъде стойността на един ъгъл и дължината на двете страни или, например, три страни.

За да се определи синус, косинус, тангенс на всеки ъгъл на тези данни е достатъчно, с тяхна помощ лесно можете да изчислите площта на фигурата. Почти винаги се изисква една от споменатите стойности като отговор и те могат да бъдат намерени по същите формули.

Несъответствия в изследването на тригонометрията

Едно от неясните въпроси, които студентите предпочитат да избягват, е да намерят връзката между различните понятия в тригонометрията. Изглежда, че триъгълниците се използват за изучаване на синусите и косинусите на ъглите, но по някаква причина символите често се намират на фигурата с кръг. Освен това има неразбираема вълнообразна графика, наречена синусоида, която няма външно сходство нито с кръг, нито с триъгълници.

синус косинус от остър ъгъл Нещо повече, ъглите се измерват в градуси, след това в радиани, а числото Pi, написано просто като 3.14 (без единици), по някаква причина се появява във формулите, съответстващи на 180 градуса. Как всичко това е свързано един с друг?

Мерни единици

Защо пи точно 3.14? Помниш ли каква е тази стойност? Това е броят на радиусите, които се вписват в дъга на полукръг. Ако диаметърът на кръга е 2 сантиметра, обиколка ще бъде 3.14 * 2 или 6.28.

Втората точка: може би сте забелязали сходството на думите "радиан" и "радиус". Факт е, че един радиан е числено равен на ъгъла между центъра на окръжността и дъгата с дължина от един радиус.

Сега да комбинираме получените знания и да разберем защо думата „Pi на половина“ е написана на оста на координатите в тригонометрията, а отляво - „Pi“. Това е ъглова стойност, измерена в радиани, защото полукръгът е 180 градуса или 3,14 радиана. А там, където има степени, има синуси и косинуси. Триъгълникът лесно се държи от желаната точка, поставяйки сегментите в центъра и по оста на координатите.

Погледни в бъдещето

Тригонометрията, изучавана в училище, се занимава с праволинейна координатна система, където, колкото и странно да звучи, права линия е права линия.

Но има и по-сложни начини за работа с пространството: сумата на ъглите на триъгълника тук ще бъде повече от 180 градуса, а линията в нашия поглед ще изглежда като истинска дъга.

синус и косинус на триъгълник

Да преминем от думи към дела! Вземете ябълка. Направете три разреза с нож, така че когато се гледа отгоре, получавате триъгълник. Извадете получената парче ябълка и погледнете "ребрата", където краят завършва. Те изобщо не са директни. Плодът в ръцете ви може да се нарече кръг, а сега си представете колко сложни трябва да бъдат формулите, с които можете да намерите областта на нарязаното парче. Но някои експерти решават подобни проблеми ежедневно.

Тригонометрични функции в живота

Забелязали ли сте, че най-краткият път на самолета от точка А до точка Б на повърхността на нашата планета има изразена форма на дъга? Причината е проста: земята е във формата на сфера, което означава, че не можете да изчислите много с помощта на триъгълници - тук трябва да използвате по-сложни формули

теорема за синус и косинус

Не правете без синус / косинус на остър ъгъл във всички въпроси, свързани с пространството. Интересно е, че тук се срещат множество фактори: тригонометричните функции се изискват при изчисляване на движението на планетите в кръгове, елипси и различни траектории на по-сложни форми; процесът на изстрелване на ракети, спътници, совалки, откачване на изследователски апарати; наблюдение на далечни звезди и изучаване на галактики, които човек не може да постигне в обозримо бъдеще.

Като цяло полето за човешка дейност, което притежава тригонометрия, е много широко и очевидно само с течение на времето ще се разширява.

заключение

Днес сме се научили или, във всеки случай, повторихме какво са синус и косинус. Това са понятия, които не трябва да се страхуват - трябва да искате, и ще разберете тяхното значение. Не забравяйте, че тригонометрията не е цел, а само инструмент, който може да се използва за задоволяване на реални човешки нужди: изграждане на къщи, осигуряване на безопасност на движението, дори изследване на откритите пространства на Вселената.

синусна дефиниция на косинус тангента

Всъщност самата наука може да изглежда скучна, но след като веднъж откриете в него начин да постигнете собствените си цели, себереализация, процесът на обучение ще стане интересен и вашата лична мотивация ще се увеличи.

Като домашна работа, опитайте се да намерите начини за прилагане на тригонометрични функции в областта на дейност, която ви интересува лично. Представете си, включете въображението и тогава със сигурност ще откриете, че новите знания ще ви бъдат полезни в бъдеще. Освен това, математиката е полезна за общото развитие на мисленето.