Правилата, чрез които добавянето на вектори

Как е добавянето на вектори, това не винаги е ясно за учениците. Децата не представляват това, което се крие зад тях. Просто трябва да запомните правилата, а не да размишлявате върху същността. Следователно става въпрос за принципите на събиране и изваждане на векторни величини, за които се изисква много знания.

В резултат на добавянето на два или повече вектора, винаги се получава един. Освен това, тя винаги ще бъде същата, независимо от приемането на местоположението му.

Най-често в училищния курс по геометрия се счита добавянето на два вектора. Тя може да се извърши по правилото на триъгълник или успоредник. Тези снимки изглеждат различно, но резултатът от действието е един.

Как се добавя правилото на триъгълника?

Използва се, когато векторите не са колинеарни. Тоест, не лежи на една линия или на успоредни линии.

В този случай първият вектор трябва да бъде отложен от някаква произволна точка. От своя край е необходимо да се проведе паралел и да е равен на втория. Резултатът ще бъде вектор, произхождащ от началото на първия и завършващ в края на втория. Фигурата наподобява триъгълник. Оттук и името на правилото.

Ако векторите са колинеарни, това правило може да се приложи. Единствено чертежът ще бъде разположен по една линия.

Как е добавянето според правилото за успоредника?

Отново? се прилага само за неколинеарни вектори. Строителството се извършва по различен принцип. Въпреки че началото е същото. Необходимо е да се отложи първият вектор. И от самото начало - второто. На базата на тях завършете успоредника и начертайте диагонал от началото на двата вектора. Тя ще бъде резултатът. Това е начинът за добавяне на вектори според правилото за паралелограма.

Досега имаше две. А какво, ако има 3 или 10? Използвайте следния трик.

Как и кога се прилага правилото за многоъгълници?

Ако искате да извършите добавянето на вектори, чийто брой е повече от два, не трябва да се страхувате. Достатъчно е да ги отложим последователно и да свържем началото на веригата с нейния край. Този вектор ще бъде желаната сума.

Какви свойства са валидни за действия с вектори?

За нулевия вектор. Това твърди, че когато се добави към него, се получава оригиналът.

На противоположния вектор. Това означава, че тази, която има обратна посока и е равна по величина на стойността. Сумата им ще бъде равна на нула.

За комутативността на добавянето. Какво е известно от началното училище. Промяната на местата на елементите не променя резултата. С други думи, без значение кой вектор първо да отложи. Отговорът все пак ще бъде правилен и уникален.

От асоциативността на добавянето. Този закон ви позволява да добавите по двойки вектори от тройка и да добавите трети към тях. Ако го напишете с помощта на знаци, получавате следното:

първо + (второ + трето) = второ + (първо + трето) = трето + (първо + второ).

Какво е известно за разликата на векторите?

Отделна операция за изваждане не съществува. Това се дължи на факта, че всъщност е допълнение. Само втората е дадена в обратна посока. И тогава всичко се прави, като че ли се вземе предвид векторното добавяне. Затова те на практика не говорят за различията си.

За да се опрости работата с тяхното изваждане, правилото на триъгълника е променено. Сега (когато се изважда) вторият вектор трябва да бъде отложен от началото на първия. Отговорът ще бъде този, който свързва крайната точка на приспадане с него. Въпреки че можете да отложите, както е описано по-горе, просто като промените посоката на втория.

Как да намерим сумата и разликата на векторите в координатите?

Проблемът дава координатите на векторите и трябва да знаете техните стойности за финала. В тази конструкция не е необходимо да се изпълнява. Това означава, че можете да използвате прости формули, които описват правилото за добавяне на вектори. Те изглеждат по следния начин:

a (x, y, z) + в (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

а (х, у, z) -c (k, 1, m) = c (xk, ил, zm).

Лесно е да се забележи, че координатите, които просто трябва да добавите или извадите, в зависимост от конкретната задача.

Първият пример с решението

Състояние. Като се има правоъгълник AVSD. Неговите страни са 6 и 8 см. Пресечната точка на диагоналите е обозначена с буквата О. Необходимо е да се изчисли разликата на векторите АО и ВО.

Решението. Първо трябва да нарисувате тези вектори. Те са насочени от върховете на правоъгълника до точката на пресичане на диагоналите.

Ако погледнете внимателно чертежа, можете да видите, че векторите вече са подравнени, така че вторият от тях е в контакт с края на първия. Това е само неговата посока е грешна. Трябва да започне от тази точка. Това е, ако векторите се сумират, а в проблема - изваждане. Стоп. Това действие означава, че трябва да добавите противоположно насочен вектор. Това означава, че VO трябва да бъде заменен с OB. Оказва се, че два вектора вече са формирали двойка страни от правилото на триъгълника. Следователно резултатът от тяхното добавяне, т.е. желаната разлика, е векторът АВ.

И това съвпада със страната на правоъгълника. За да запишете цифров отговор, ще се изисква следното. Начертайте правоъгълник, така че голямата страна да хоризонтално. Номерирането на върховете започва от долния ляв ъгъл и върви обратно на часовниковата стрелка. Тогава дължината на вектора AB ще бъде равна на 8 cm.

Отговорът е. Разликата между AO и VO е 8 cm.

Вторият пример и неговото подробно решение

Състояние. Диагоналът на ромбовия AVSD е равен на 12 и 16 см. Точката на тяхното пресичане се обозначава с буквата О. Изчислява се дължината на вектора, формиран от разликата на векторите АО и VO.

Решението. Нека обозначението на върховете на ромб е същото като при предишния проблем. Подобно на решението на първия пример, се оказва, че желаната разлика е равна на вектора АВ. А дължината му е неизвестна. Решението на проблема беше редуцирано, за да се изчисли една от страните на ромба.

За тази цел трябва да разгледате триъгълника ABO. Той е правоъгълен, тъй като диагоналът на ромба се пресича под ъгъл от 90 градуса. И краката му са равни на половината от диагоналите. Това е 6 и 8 см. Потърсената в проблема страна съвпада с хипотенузата в този триъгълник.

За да го открием, се нуждаем от Питагоровата теорема. Квадратът на хипотенузата ще бъде равен на сумата от числата 6 ² и 8 ² . След квадрат, стойностите са 36 и 64. Сумата им е 100. От това следва, че хипотенузата е 10 cm.

Отговорът е. Разликата между векторите на АО и ВЕ е 10 cm.

Третият пример с подробно решение

Състояние. Изчислете разликата и сумата от два вектора. Техните координати са известни: в първия - 1 и 2, във втория - 4 и 8.

Решението. За да намерите сумата, трябва да добавите по двойки първата и втората координати. Резултатът ще бъде числата 5 и 10. Отговорът ще бъде вектор с координати (5; 10).

За разликата трябва да извършите изваждането на координатите. След като извършите това действие, ще получите числата -3 и -6. Те ще бъдат координатите на желания вектор.

Отговорът е. Сумата от векторите е (5; 10), разликата им е (-3; -6).

Четвърти пример

Състояние. Дължината на вектора АВ е 6 cm, BC - 8 cm, а втората е начертана от края на първия под ъгъл 90 градуса. Изчислете: а) разликата на модулите на векторите BA и BC и модула на разликата BA и BC; б) сумата на същите модули и модула на сумата.

Решение: а) Дължините на векторите вече са дадени в проблема. Ето защо, за да се изчисли разликата им не е трудно. 6 - 8 = -2. Ситуацията с модула за разлика е малко по-сложна. Първо трябва да знаете кой вектор ще бъде резултат от изваждане. За тази цел трябва да отложите вектора ВА, който е насочен в обратна посока АВ. След това от своя край да държи вектора на слънцето, насочвайки го в посока, обратна на оригинала. Резултатът от изваждането е векторът CA. Модулът му може да се изчисли по теоремата на Питагор. Обикновено изчисленията водят до стойност от 10 cm.

б) Сумата от модулите на векторите е 14 см. За да се търси вторият отговор, се изисква някакво преобразуване. Vector BA е противоположно насочено към това, дадено от - AB. И двата вектора са насочени от една точка. В тази ситуация можете да използвате правилото за паралелограма. Резултатът от добавянето ще бъде диагонал, а не само успоредник, но правоъгълник. Неговите диагонали са равни, което означава, че модулът на сумата е същият, както в предишния параграф.

Отговор: а) -2 и 10 см; b) 14 и 10 cm.