Полиноми. Полиномиална факторизация: методи, примери

Понятията "полином" и "разлагане на полином на фактори" в алгебрата са много чести, защото те трябва да бъдат известни, за да могат лесно да се извършват изчисления с големи многоцифрени числа. Тази статия ще опише няколко метода на декомпозиция. Всички те са доста лесни за използване, просто трябва да изберете правилния за всеки конкретен случай.

Полиномна концепция

Полиномът е сумата от мономи, т.е. изрази, съдържащи само операцията по умножение.

Например, 2 * x * y е мономен, но 2 * x * y + 25 е полином, който се състои от 2 монома: 2 * x * y и 25. Такива полиноми се наричат ​​двучленни полиноми.

Понякога за удобство при решаването на примери с многозначни стойности, изразът трябва да се трансформира, например декомпозиран в редица фактори, т.е. числа или изрази, между които се извършва действието на умножение. Има много начини за разлагане на полином на фактори. Струва си да ги разгледаме от най-примитивния, който се използва в началното училище.

Групиране (писане изобщо)

Формулата за декомпозиране на полином във фактори в начина на групиране в обща форма изглежда така:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо е да се групират мономи по такъв начин, че във всяка група да се появи общ фактор. В първата скоба тя е фактор c, а във втората е d. Това трябва да се направи, за да се извади от скобата, като по този начин се опростят изчисленията.

Алгоритъм за декомпозиция за конкретен пример

Най-простият пример за разширяване на полином във фактори чрез метода на групиране е даден по-долу:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

В първата група трябва да вземете термините с множителя a, който е общ, а вторият с множителя b. Обърнете внимание на знаците + и - в готовия израз. Ние поставяме пред монома знака, който е в началния израз. Това означава, че трябва да работите не с израза 25а, а с израза -25. Знакът минус изглежда да е "залепен" към израза зад него и винаги да го взема предвид при изчисляването.

Следващата стъпка е да вземем множителя, който е общ, от скобата. За това е направено групирането. Да се ​​извади от скобата означава да се напише пред скобата (без знака за умножение) всички тези фактори, които се повтарят точно във всички термини, които са в скобата. Ако скобата не е 2, a 3 термините и повече, общият фактор трябва да се съдържа във всяка от тях, в противен случай не може да бъде изваден от скобата.

В нашия случай - само 2 термина в скоби. Общият фактор е незабавно видим. В първата скоба е a, а във втората - b. Тук трябва да обърнете внимание на цифровите коефициенти. В първата скоба и двата коефициента (10 и 25) са кратни на 5. Това означава, че не само а, но и 5а могат да бъдат извадени от скобата. Преди скоби напишете 5а, след което разделете всеки от думите в скоби чрез общия фактор, който е бил изразен, и напишете частното в скоби, без да забравяте знаците + и - Направете и втората скоба, извадете 7b, както и 14 и 35 кратно на 7.

Така че:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Оказа се, че има 2 понятия: 5a (2c - 5) и 7b (2c - 5). Всеки един от тях съдържа общ фактор (цялото изражение в скоби тук съвпада, което означава, че е общ фактор): 2c - 5. Също така трябва да бъде извадено от скобата, т.е. термините във втората скоба остават 5a и 7b:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Така че, пълният израз:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

По този начин, полиномът 10ac + 14bc - 25a - 35b се разлага на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Символът за умножение между тях може да се пропусне при писане.

Понякога има изрази от този тип: 5a ² + 50a ³ , тук можете да извадите не само а или 5а, но дори и 5а ² . Винаги трябва да се опитате да вземете най-големия общ фактор от скобата. В нашия случай, ако разделим всеки термин на общ фактор, се оказва:

5а ² / 5а2 = 1; 50а ³ / 5а ² = 10а (при изчисляване на коефициента на няколко градуса с равни бази, базата се запазва, а експонентът се изважда). По този начин единицата остава в скоби (във всеки случай, не забравяйте да я напишете, ако поставите един от добавките от скобата) и частното: 10а. Оказва се, че:

5a ² + 50a ³ = 5a ² (1 + 10а)

Квадратни формули

За удобство са извлечени няколко формули. Те се наричат ​​съкратени формули за умножение и се използват доста често. Тези формули помагат да се определят полиномите, съдържащи градуси. Това е друг ефективен начин за факторинг. Така че, тук те са:

• a ² + 2ab + b ² = (a + b) ² - формула, която се нарича "квадрат на сумата", тъй като в резултат на разлагане на квадрат, сумата от числата се загражда в скоби, т.е. стойността на тази сума се умножава сама по себе си 2 пъти. , което означава, че е множител.
• a ² + 2ab - b ² = (a - b) ^{2 -} формулата на квадрата на разликата, тя е подобна на предишната. Резултатът е разлика, затворена в скоби, съдържаща се в квадратна мощност.
• a ² - b ² = (a + b) (a - b) е формула за разликата на квадратите, тъй като първоначалният полином се състои от 2 квадрата от числа или изрази, между които се извършва изваждането. Може би, от трите споменати, той се използва най-често.

Примери за изчисления на квадратна формула

Изчисленията върху тях са направени съвсем просто. Например:

1. 25x ² + 20xy + 4y ² - използвайте формулата "квадратна сума".
2. 25x ² е квадратен израз 5x. 20-та е удвоеният продукт 2 * (5x * 2y), а 4y ² е квадратът 2y.
3. Така, 25x2 + 20xy + 4y2 = (5х + 2y) ² = (5х + 2y) (5x + 2u). Този полином се разлага на 2 фактора (факторите са едни и същи, затова се изписва като израз с квадратна мощност).

Действията, използващи формулата с квадратна разлика, се извършват по същия начин. Формулата остава разликата на квадратите. Примери за тази формула са много лесни за идентифициране и намиране сред другите изрази. Например:

• 25a ² - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Тъй като 25a ² = (5a) ² , и 400 = 20 ²
• 36x2 - 25y2 = (6x - 5y) (6x + 5y). От 36x ² = (6x) ² , и 25y ² = (5y ² )
• c ² - 169b ² = (с - 13Ь) (с + 13Ь). Тъй като 169b ² = (13b) ²

Важно е всяка от добавките да бъде квадрат на израз. Тогава този полином се подлага на факторизация по формулата на разликата на квадратите. За тази цел не е необходимо втората степен да е над броя. Има полиноми, съдържащи големи градуси, но все още подходящи за тези формули.

a ⁸ + 10a ⁴ + 25 = (a ⁴ ) ² + 2 * a ⁴ * 5 + 5 ² = (a ⁴ + 5) ²

В този пример, ⁸ могат да бъдат представени като (a ⁴ ) ² това е квадратът на определен израз. 25 е 5 ² и 10a ⁴ е двойна работа условия 2 * a ⁴ * 5. Това означава, че този израз, въпреки наличието на степени с големи експонати, може да се разложи на 2 фактора, за да се работи с тях по-късно.

Формулирани кубчета

Същите формули съществуват за факторинг полиноми, съдържащи кубове. Те са малко по-сложни от тези с квадрати:

• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - ab + b ² ) - тази формула се нарича сума от кубчета, тъй като в първоначалната му форма полиномът е сумата от две изрази или числа, затворени в куб.
• a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) - формула, идентична с предходната, обозначена като разлика на кубчета.
• a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ = (a + b) ^{3 е} кубът на сумата, в резултат на изчисленията е дадена сумата от числа или изрази, затворена в скоби и умножена по себе си 3 пъти, т.е.
• a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ = (a - b) ³ - формула, съставена по аналогия с предходната с промяна само на някои от признаците на математически операции (плюс и минус), се нарича "различен куб".

Последните две формули на практика не се използват с цел разлагане на полином на фактори, тъй като те са сложни и по-рядко има полиноми, които напълно съответстват на такава структура, така че могат да бъдат разширени според тези формули. Но вие все още трябва да ги знаете, тъй като те ще бъдат необходими за действия в обратна посока - при отваряне на скоби.

Примери за формула на куба

Да вземем за пример: 64a ³ - 8b ³ = (4a) ³ - (2b) ³ = (4a - 2b) ((4a) ² + 4a * 2b + (2b) ² ) = (4a - 2b) (16a ² + 8ab) + 4b ² ).

Тук са взети достатъчно прости числа следователно можете веднага да видите, че 64a ³ е (4a) ³ , а 8b ³ е (2b) ³ . По този начин този полином се разлага по формулата за разлика от кубовете по 2 фактора. Действията по формулата за сумата от кубчета се правят по аналогия.

Важно е да се разбере, че не всички полиноми са подложени на декомпозиция поне по един от начините. Но има такива изрази, които съдържат по-големи градуси от квадрат или куб, но те могат да бъдат разширени в съкратени форми за умножение. Например: x ¹² + 125y ³ = (x ⁴ ) ³ + (5y) ³ = (x ⁴ + 5y) * ((x ⁴ ) ² - x ⁴ * 5y + (5y) ² ) = (x ⁴ + 5y) x ⁸ - 5x ⁴ y + 25y ² ).

Този пример съдържа до 12 градуса. Но дори и това е възможно да се изчисли с помощта на формулата за сумата от кубовете. За да направите това, x ¹² трябва да бъде представен като (x ⁴ ) ³ , т.е. като куб на някакъв израз. Сега, вместо във формулата, е необходимо да го заместим. Но изразът 125y ³ е 5y куб. След това трябва да направите продукта според формулата и да направите изчисления.

Първоначално или в случай на съмнение, винаги можете да направите обратна мултипликационна проверка. Трябва само да отворите скобите в получения израз и да извършите действия с подобни термини. Този метод се прилага за всички изброени методи за намаляване: както за работа с общ фактор и групиране, така и за действия, използващи формулите на кубовете и квадратните градуси.