Бутилка Клайн: свойства и приложения

Бутилка на Клайн е двуизмерен колектор, определена неориентируема повърхност. За първи път той е описан от немския математик Клайн през 1882 година. Ако изрежете бутилка на Клайн по оста си симетрия на половина на равни части, резултатът ще бъде лента на Мобиус. Самото име, най-вероятно, идва от неправилен превод от немската дума Flache - повърхност. С писането, тази дума е близка до думата Flasche - бутилка. В бъдеще това име в тази версия се връща на немския език.

Сфера отвътре навън

Mobius Tape, Бутилка Клайн и хептаедър - всичко това е цялостен статичен дизайн с вътрешни повърхности. През 20-ти век тополозите започват да решават проблеми от динамично естество, като първата от тях е инверсия на сфера. За разлика от горните фигури, повърхността на сферата е ориентирана. Нейната вътрешна страна може да бъде боядисана в синьо, а външната - в червено. Ако след такова оцветяване на повърхностите на места сменим южния и северния полюс на сферата, като ги движим по свързващата ос, сферата ще се завърти отвътре навън, така че външната й повърхност да стане синя и вътрешната повърхност да стане червена. По цялата обиколка на екватора се образува сгъвка. Но това не е всичко: когато полюсите минават по оста по-голямата част от пътя, а външната повърхност на сферата променя цвета си от червено на синьо, дължина на екватора ще се създаде тороидална повърхност, боядисана отвън в червено. Следователно, полуоборотената сфера показва друг интересен ефект в топологията - преплитане на външното и вътрешното пространство, тъй като отвън и двете страни се оказват едновременно.

Как да изградим модел на бутилка Клайн

Първо трябва да вземете бутилка с дупки в стената и в дъното и да издърпате шията, да я огънете и да минете през дупката в стената. Ако изградите модел на истинска бутилка в четириизмерно пространство, тогава няма нужда от дупка в стената. Но без него не може да се направи, ако моделът е изграден в триизмерно евклидово пространство (R3). След това шията трябва да бъде прикрепена към отвора в дъното. Бутилка Клайн, за разлика от обикновеното стъкло, няма „ръб“, където повърхността завършва рязко. Ако го сравним с балон, тогава пътят отвътре навън минава, без да пресича повърхността. Така че в действителност обектът няма нито вътрешна, нито външна повърхност.

Бутилка Клайн: приложение и свойства

Този обект, подобно на лентата на Мебиус, е двуизмерен диференцируем неориентируем колектор. Но, за разлика от лентата, бутилката на Клайн е компактна колекция без ръб. Ако залепите две ръбове по Мобиус, ще получите бутилка Клайн. Но това не може да се направи в обичайното пространство (R3), без да се създава самопресечка. Бутилката Клайн може да бъде потопена само в нея триизмерно пространство но в същото време може да бъде вградено в четириизмерно пространство. Този обект има хроматичен брой повърхности от шест.