Намерете корена на уравнението? Това е лесно!

В математиката има различни уравнения. Те винаги трябва да бъдат решени, т.е. да се търсят всички числа, които ще го направят истинско равенство. Начините за намиране на решения се определят от оригиналната форма на уравнението. Тя също ще зависи от броя на истинските стойности на променливата, които са определени като корен на уравнението. Този брой може да варира от нула до безкрайност.

Какво се разбира под уравнението и неговия корен?

От заглавието е ясно, че той приравнява две стойности, които могат да бъдат представени чрез числови или буквени изрази. Освен това те съдържат все още неизвестни количества. Най-простото уравнение има само едно.

Има голям брой видове уравнения, но концепцията за корен е винаги еднаква за тях. Коренът на уравнението е такава стойност на неизвестен брой, при който уравнението приема истинско равенство. Има ситуации, когато има няколко такива числа, след това неизвестното се нарича променлива.

Намирането на всички възможни корени на уравнението е неговото решение. Това означава, че трябва да извършите поредица от математически операции, които я опростяват. И след това да доведе до равенство, което съдържа само неизвестното и числото.

В алгебрата, когато се решават уравнения, може да се стигне до ситуация, че изобщо няма да има корени. Тогава те казват, че е неразтворим. И в отговора на такова уравнение е необходимо да се запише, че няма решения.

Но понякога се случва обратното. Тоест външните корени се появяват в процеса на многобройни трансформации. Те няма да дадат истинско равенство при заместването. Следователно, номерата трябва винаги да се проверяват, за да се избегне ситуацията с ненужни корени в отговора. В противен случай уравнението няма да се счита за решено.

За линейното уравнение

Тя винаги може да се преобразува в запис от следната форма: a * x + v = 0. В него “а” винаги е ненулева. За да разберем колко корени има уравнението, трябва да го решим в обща форма.

Алгоритъмни трансформации:

• преместване на термина „в” в дясната страна на равенството, замяна на знака с обратното;
• разделят двете страни на полученото равенство с коефициента „а”.

Общото мнение на решението е:

x = -in / a .

От нея е ясно, че отговорът е един номер. Това е само един корен.

Квадратично уравнение

Общата му форма: a * x ² + b * x + c = 0 . Тук коефициентите са всякакви числа, с изключение на първата, "а", която не може да бъде равна на нула. В крайна сметка, то автоматично ще стане линейно. Отговорът на въпроса колко корени има уравнението вече не е толкова ясен, както в предишния случай.

Всичко ще зависи от стойността на дискриминанта. Изчислява се по формулата D = в ² - 4 a * s . След изчисленията “D” може да се окаже повече, по-малко или равно на нула. В първия случай корените на уравнението ще бъдат две, а във втория отговорът ще бъде „без корени“, а третата ситуация ще даде само една неизвестна стойност.

Формули, които се използват за намиране на корените на квадратично уравнение и съдържащи дискриминант

В общия случай, когато "D" е положително число, което не е равно на нула, трябва да използвате следната формула:

х _1,2 = (-в ± √Д) / (2 * а) .

Тук винаги има два отговора. Това се дължи на факта, че първоначалната формула е знак плюс / минус. Тя значително променя стойността на неизвестното.

Когато “D” е равна на нула, коренът на уравнението е единственият номер. Само защото квадратен корен от нула е нула. Така че добавянето и изваждането ще трябва да бъде нула. От този номер няма да се промени. Следователно формулата на корена на уравнението може да бъде написана без да се споменава "D":

x = (-v) / (2 * a).

Ако дискриминантът е отрицателен, не е възможно да се извлече коренът от него. Следователно, корените на такова уравнение няма да бъдат.

Забележка. Това е вярно за училищния курс, който не се преподава. сложни числа. Когато те влязат, се оказва, че в тази ситуация ще има два отговора.

Формули за изчисляване на корените на квадратично уравнение, които не използват дискриминант

Става дума за теоремата на Виет. Той е валиден в случаите, когато квадратичното уравнение е написано в малко по-различна форма:

х ² + с * х + с = 0.

Тогава коренната формула квадратично уравнение се свежда до изпълнение на две линейни решения:

х ₁ + х ₂ = -в
и
x ₁ * x ₂ = s.

Тя се решава поради факта, че изразът за един от корените е получен от първия. И тази стойност трябва да се замени с втора. Така че вторият корен ще бъде намерен, а след това и първият.

Тази опция винаги може да идва от общата форма на квадратното уравнение.

Достатъчно е да се разделят всички коефициенти на "а".

Ами ако трябва да знаете най-малката стойност на корена?

Решете уравнението и намерете всички възможни числа, които са подходящи за отговора. И след това изберете най-малката. Това ще бъде най-малкият корен на уравнението.

Най-често такива въпроси се намират в задачи, които имат степен по-голяма от 2, или съдържат тригонометрични функции. Пример за това кога трябва да намерите най-малкия корен е следното равенство:

2 x ⁵ + 2 x ⁴ - 3 x ³ - 3 x ² + x + 1 = 0.

За да се намери всяка стойност, която може да се нарече "корен на уравнението", това уравнение трябва да се трансформира. Първото действие: да групирате членовете си по двойки: първото с второто и т.н. Тогава от всяка двойка да се направи общ фактор.

Във всяка скоба ще остане (x + 1). Общият фактор в първата двойка ще бъде 2 x ⁴ , във втория 3 x ² . Сега отново трябва да наложиш общ фактор, който ще бъде същата.

След мултипликатора (x + 1) ще бъде (2 x ⁴ - 3 x ² + 1). Продуктът на два фактора е равен на нула, само ако една от тях приеме стойност равна на нула.

Първата скоба е нула за x = -1. Това ще бъде един от корените на уравнението.

Други ще бъдат получени от уравнението, формирано от втората скоба, приравнена на нула. Тя е биквадратна. За да го разрешите, трябва да въведете нотацията: x ² = y. Тогава уравнението ще се промени значително и ще вземе обичайната форма на квадратично уравнение.

Неговият дискриминант е D = 1. Той е по-голям от нула, което означава, че ще има два корена. Първият корен е равен на 1, а вторият е 0.5. Но това са стойностите за y.

Необходимо е да се върнете към въведеното означение. х _1.2 = ± 1, х _3.4 = ± .0.5. Всички корени на уравнението: -1; 1; -√0,5; √0,5. Най-малката от тях е -1. Това е отговорът.

В заключение

Напомняне: всички уравнения трябва да се проверят дали коренът е подходящ. Може би той е непознат? Струва си да проверите предложения пример.

Ако заместим единицата в първоначално дадено уравнение вместо "х", тогава се оказва, че 0 = 0. Този корен е правилен.

Ако x = -1, резултатът е един и същ. Коренът също е подходящ.

По същия начин, със стойностите на "х", равна на -0.5 и .50.5, истинското равенство отново излиза. Всички корени пасват.

Този пример не дава странични корени. Това не винаги е така. Възможно е най-малката стойност да не е подходяща за тестване. Тогава ще трябва да избирам от останалите.

Заключение: необходимо е да се помни за проверката и внимателно да се подходи към решението.