Какво е това - конус в геометрията. Прав конус с кръгла основа и неговите характеристики

Пространствената геометрия, чийто ход протича в гимназията, разглежда характеристиките и свойствата на различни геометрични форми в триизмерно измерение. Една от тези известни фигури е конусът. Това е конус, какви елементи описва и какви свойства притежава, статията ще отговори на тези въпроси.

Конус в геометрията

От гледна точка на стереометрията, конусът е фигура, образувана в пространството чрез свързване на прави сегменти от определена точка с крива в равнината. Тази крива се нарича directrix или ръководство. Тя ограничава формата на основата. Directrix може да бъде затворена линия, като елипса или кръг, или може да не е затворена, като хипербола или парабола. Всички сегменти, които свързват директорията с гореспоменатата точка на пространството, се наричат ​​генератори или генератори. Наборът от генератори определя конична повърхност, а точката, от която те излизат, се нарича връх на конуса.

По този начин конусът е фигура, която има един връх, без ръбове и се състои от две повърхности (плоска основа и странична конична повърхност). Елиптичният конус е показан на фигурата по-горе.

Кръгъл или кръгъл конус

Под думата "кръг" в заглавието на елемента разбират фигурата, основата на която е кръг. За разлика от други видове конус, може да се получи кръгла фигура в резултат на въртене. Фигурата по-долу показва този процес.

Нека накратко обясним какво показва фигурата. Триъгълникът ABC е правоъгълен. Ако се върти около крак АВ, крак АС ще опише една повърхност на конуса, основата и хипотенузата ВС ще доведе до образуването на конична повърхност в резултат на въртенето.

Показаният на фигурата конус е не само кръгъл, но и прав. Последното свойство е важно да се има предвид при извършване на изчисления на линейни параметри, площ и обем на фигурата.

Геометричната форма на конус е права, ако височината h пада точно в центъра на основата (в този случай височината е сегмент AB, а центърът на основата е точка А). Ако определеното условие не е изпълнено, тогава цифрата се нарича наклонена. Косите и правите конуси са показани по-долу за по-голяма яснота.

Много обекти, които ни заобикалят, като конуси за сладолед, конус с райе или фуния за изливане на течност през тесни отвори, имат конусообразна форма с кръгла основа.

След това разглеждаме количествените характеристики на прав конус с кръгла основа.

Линейните размери на фигурата и ъгъла на основата

Линейните размери на конуса са набор от параметри, които ви позволяват еднозначно да дефинирате фигура в пространството. Те са следните:

• радиус на основа r;
• височина h;
• генератор g.

Отбелязваме, че за разглеждания тип конус всички генериращи се равни са една на друга и пресичат основата на фигурата под същия ъгъл.

В допълнение към горните линейни параметри, конусът се характеризира и с ъгъла φ между генератора и основата.

Всички тези характеристики са свързани помежду си чрез следните основни уравнения:

g = √ (h ² + r ² );

g = h / sin (φ);

g = r / cos (φ);

h = r * tg (φ)

Тези равенства могат да бъдат записани независимо, ако разглеждаме правоъгълен триъгълник вътре в конуса и си припомним дефинициите на посочените тригонометрични функции.

Площ

Площта на основата и коничната повърхност е важна характеристика на конуса. По-ясно и по-лесно е да се изучава повърхността на фигура не в триизмерно, а в двуизмерно пространство. За да направите това, направете така наречените сканиращи модели. Можете да си представите процеса на получаването му, както следва: Да предположим, че има конус от хартия. Първо, изрязваме основата й по обиколката, след което изрязваме коничната повърхност по дължината на генератора и я разгръщаме. Получихме сканиране на конуса, което е показано по-долу на фигурата.

Площта на цялото почистване S е равна на:

S = S _o + S _b

Когато първият член (S _o ) е площта на окръжността, вторият термин (Sb) е областта на кръгъл сектор, отразяващ конична повърхност. Стойността на S _{o се} изчислява по следната формула:

S _o = pi * r ²

При кръговия сектор ситуацията е по-сложна. Тя е ограничена от два радиуса, чиято дължина е равна на образуващата g, и една дъга, съответстваща на обиколката на основния кръг. Тази цифрова информация ви позволява да определите уникално областта на сектора. Няма да правим математически изчисления, но веднага ще дадем окончателната формула за S _b :

S _b = pi * r * g

Сравнението на писмените формули за S _b и S _o предполага, че площта на страничната повърхност винаги е по-голяма от тази на базата чрез g / r.

Формулата за общата площ е както следва:

S = pi * r * (r + g)

Размер на тялото

Конусът е пространствена фигура, така че има определен обем. Числено съответства на областта на пространството, която е ограничена от конична повърхност и кръгла основа. За определяне на обема на конуса използвайте следния израз:

V = 1/3 * S _o * h

Подставяйки в този израз формулата за S _o , получаваме:

V = 1/3 * pi * r ² * h

Някои читатели може да са забелязали, че формулата за обема на конуса съответства на тази за пирамидата. Това съвпадение не е случайно, тъй като формите на тези фигури стават идентични, ако броят на ръбовете на права линия на пирамидата се увеличи до безкрайност.