Теоремата на Поанкаре с прости думи

Жул Анри Пуанкаре (1854-1912) оглавява Парижката академия на науките и е избран за научни академии в 30 страни по света. Той имаше мащаба на Леонардо: неговите интереси обхванаха физиката, механиката, астрономията, философията. Математиците от целия свят все още казват, че само две души в историята наистина са знаели тази наука: немският Дейвид Гилбърт (1862-1943) и Поанкаре.

През 1904 г. ученият публикува книга, съдържаща, наред с други неща, предположение, наречено теоремата на Поанкаре. Търсенето на доказателства за истинността на това твърдение отнема около век.

Основател на топологията

Математическият гений на Поанкаре е впечатляващ в броя на секциите на науката, където той развива теоретичните основи на различни процеси и явления. Във време, когато учени правят пробиви в новите светове на космоса и в дълбините на атома, е невъзможно да се направи без една единствена основа на общата теория на Вселената. Преди това неизвестни клонове на математиката са станали такава база.

Poincaré търси нов поглед върху небесната механика, създава качествена теория на диференциалните уравнения, теория на автоморфните функции. Изследовател изследовател стана основа специална теория на относителността Айнщайн. Теоремата на Поанкаре за завръщането казва, наред с други неща, че е възможно да се разберат свойствата на глобалните обекти или явления чрез изследване на съставните частици и елементи. Това даде силен тласък на научните изследвания във физиката, химията, астрономията и др.

Геометрията е клон на математиката, където Пуанкаре стана признат новатор и световен лидер. Теорията на Лобачевски, отваряйки нови измерения и пространства, все още се нуждаеше от ясен и логичен модел, а Поанкаре дава идеите на големия руски учен за приложен характер.

Развитието на неевклидовата геометрия е появата на топология - клон на математиката, наречен геометрия на разположението. Тя изучава пространствените връзки на точки, линии, равнини, тела и др. без оглед на техните метрични свойства. Теоремата на Поанкаре, която се превърна в символ на най-трудните в науката проблеми, възниква точно в дълбочините на топологията.

Една от седемте хилядолетни цели

В самото начало на 21-ви век, едно от подразделенията на Американския университет в Кеймбридж - математически институт, основано на средствата на бизнесмена Ландън Т. Клей - публикува списък с проблемите на хилядолетието. Той съдържа седем точки от класическите научни проблеми, за решаването на всяка една от които е създадена награда от един милион долара:

• Равенство на класове P и NP (за съответствието на алгоритмите за решаване на проблема и методи за проверка на тяхната коректност).
• Хипотезата на Ходж (относно връзката на обектите и тяхната прилика, съставена за тяхното изследване от „тухли“ с определени свойства).
• Хипотезата на Пуанкаре (всяко просто свързано компактно триизмерно многообразие без граница е хомеоморфно на триизмерна сфера).
• Хипотезата на Риман (относно редовността на поставянето на прости числа).
• Теорията на Янг - Милс (уравнения от полето на елементарните частици, описващи различни видове взаимодействия).
• Наличие и гладкост на решенията на уравненията Навие - Стокс (описват турбуленцията на въздушните и флуидните потоци).
• Предположението на Бърч - Суинертон-Дайер (на уравнения, описващи елиптични криви).

Всеки проблем имаше много дълга история, търсенето на тяхното решение доведе до появата на цели нови научни области, но единствените правилни отговори на поставените въпроси не бяха намерени. Разбирането на хората каза, че парите на Фондация Клей са безопасни, но едва до 2002 г. - този, който доказа теоремата на Пуанкаре, се появи. Вярно е, че той не взе парите.

Класическа формулировка

Хипотезата, за която се намира потвърждението, става теоремата, която има правилното доказателство. Именно това се случи с предложението на Пуанкаре за свойствата на триизмерните сфери. В по-общ вид този постулат говори за хомеоморфизма на всяко многообразие на размерност n и сфера на измерение n като необходимо условие за тяхната хомотопична еквивалентност. Сега известната теорема на Поанкаре се отнася до варианта, когато n = 3. Именно в триизмерното пространство математиците чакаха трудности, а в други случаи доказателствата бяха намерени по-бързо.

За да разберем поне малко смисъла на теоремата на Пуанкаре, човек не може да направи това, без да се запознаем с основните понятия на топологията.

хомеоморфизъм

Говорейки за хомеоморфизъм, топологията го определя като едно-към-едно съответствие между точките на една и друга фигура, в известен смисъл, неразличимост. Теоремата на Поанкаре е трудно да се даде на неподготвените. За чайниците можете да дадете най-популярния пример за хомеоморфни фигури - топка и куб, поничка и кръг също са хомеоморфни, но не и кръг и куб. Фигурите са хомеоморфни, ако една фигура може да бъде получена от произволна деформация от друга, и тази трансформация е ограничена от някои свойства на повърхността на фигурата: тя не може да бъде разкъсана, пробита, отрязана.

Ако кубът е надут, той лесно може да се превърне в топка, ако топката е смачкана от насрещното движение, можете да получите куб. Наличието на дупка в поничка и дупка, образувана от дръжката на кръг, ги прави хомеоморфни, една и съща дупка прави невъзможно да се превърне кръг в топка или куб.

съгласуваност

Дупка е важна концепция, която определя свойствата на даден обект, но категорията не е математическа. Въведена е концепцията за свързаност. Той съдържа много топологични постулати, включително теоремата на Поанкаре. С прости думи можете да кажете следното: ако увийте повърхността на топка с гумена лента, тя ще се плъзне и ще се промъкне. Това няма да се случи, ако има дупка, подобна на торба с поничка, през която можете да преминете тази лента. Така се определя основният знак за сходство или различие на обекти.

разнообразие

Ако даден обект или пространство е разделен на множество съставни части - квартали около една точка - тогава тяхната общност се нарича многообразие. Именно тази концепция съдържа теоремата на Пуанкаре. Компактност означава ограничен брой елементи. Всеки отделен квартал се подчинява на законите на традиционната - евклидова - геометрия, но заедно образуват нещо по-сложно.

Най-адекватната аналогия на тези категории е повърхността на земята. Образът на неговата повърхност е карта на отделните й области, събрани в атлас. На земното кълбо тези образи приемат формата на топка, която, в сравнение с пространството на Вселената, се превръща в точка.

Триизмерна сфера

По дефиниция, сферата е съвкупност от точки, които са на еднакво разстояние от центъра - фиксирана точка. Едномерната сфера се намира в двуизмерно пространство под формата на кръг в равнина. Двуизмерната сфера - повърхността на топката, нейната "кора" - набор от точки в триизмерното пространство и съответно триизмерната сфера - са същността на теоремата на Поанкаре - повърхността на четириизмерната топка. Много е трудно да си представим такъв обект, но, казват те, ние сме вътре в такова геометрично тяло.

Математиците също така дават следното описание на триизмерната сфера: да предположим, че към нашето обичайно пространство, считано за неограничено и дефинирано от три координати (X, Y, Z), се добавя точка (в безкрайност) по такъв начин, че тя винаги може да бъде въведена чрез преместване във всяка посока в права линия, т.е. всяка линия в това пространство става кръг. Казва се, че има хора, които могат да си представят това и спокойно да се ориентират в такъв свят.

За тях обичайното нещо - триизмерен тор. Такъв обект може да се получи чрез двойно повторение на две в една точка, разположени на противоположни (например дясна и лява, горна и долна) повърхности на куба. За да се опитаме да си представим триизмерен тор от нашите обичайни позиции, трябва да проведем абсолютно нереален експеримент: необходимо е да изберете посоки, взаимно перпендикулярни, - нагоре, наляво и напред - и да започнете да се движите във всеки от тях по права линия. След известно (крайно) време от обратната посока се връщаме към началната точка.

Такова геометрично тяло е от фундаментално значение, ако искате да разберете какво е теоремата на Поанкаре. Доказателството на Перелман се свежда до оправданието за съществуването в триизмерното пространство само на едно просто свързано компактно многообразие - 3-сфери, други, като 3-тора, не са просто свързани.

Дълъг път към истината

Изминаха повече от половин век, преди да се появи решението на теоремата на Поанкаре за по-големи от 3 измерения. Стивън Смайл (роден 1930), Джон Робърт Стелинг (1935–2008), Ерик Кристофър Зиман (роден 1925 г.) намери решение за п, равно на 5, 6 и равно на или по-голямо от 7. Само през 1982 г. Майкъл Фридман (роден през 1951 г.) ) получи най-високата математическа награда - Fields Premium - за доказване на теоремата на Поанкаре за по-сложен случай: когато n = 4. През 2006 г. тази награда - Медал на полето - бе присъдена на руската математика от Санкт Петербург. Грегори Яковлевич Перелман доказа теоремата на Пуанкаре за триизмерно многообразие и триизмерна сфера. Той отказа да получи наградата.

Обикновен гений

Григорий Яковлевич е роден на 13 юни в Ленинград, в интелигентно семейство. Баща му, електроинженер, отишъл в Израел за постоянно пребиваване в началото на 90-те, майка му преподавала математика в професионално училище. В допълнение към любовта към добрата музика, тя внушава на сина си страст за решаване на проблеми и пъзели. В 9 клас Григорий се прехвърля в Физико-математическо училище № 239, но от 5-ти клас посещава Центъра по математика в Двореца на пионерите. Победата на всички съюзни и международни олимпиади позволи на Перелман да влезе в Ленинградския университет без изпити.

Много експерти, особено руснаците, казват, че Григорий Яковлевич е бил подготвен за безпрецедентно излитане от високия клас на ленинградската школа по геометрия, която е преминал в механичния факултет на Ленинградския държавен университет и в магистърска степен в Математическия институт. VA Steklov. превръща Кандидат на науките той започна да работи в него. Трудното време на 90-те години накара млад учен да заработи в Съединените щати. Онези, които го познаваха, отбелязаха неговия аскетизъм в ежедневието, отдадеността на работата, отличната подготовка и високата ерудиция, което стана гаранция, че Перелман доказа теоремата на Поанкаре. Той се зае с този проблем внимателно след завръщането си в Санкт Петербург през 1996 г., но започна да мисли за това в САЩ.

Правилната посока

Григорий Яковлевич отбелязва, че той винаги е бил очарован от сложни проблеми, като теоремата на Пуанкаре. Перелман започна да търси доказателства в посоката, взета от разговора с професор Колумбийския университет Ричард Хамилтън (роден през 1943 г.). По време на престоя си в Съединените щати, той специално пътува от друг град до лекции от този изключителен учен. Перелман отбелязва отличното доброжелателно отношение на професора към младия математик от Русия. В разговора си Хамилтън споменава Ричи потоци - система от диференциални уравнения - като начин за решаване на теореми за геометризиране. Впоследствие, Перелман се опитал да се свърже с Хамилтън и да обсъди напредъка на работата по задачата, но не получи отговор. Дълго време след завръщането си в родината си, Григорий Яковлевич прекарва сам с най-трудната задача, която е теоремата на Пуанкаре. Доказателството на Перелман е резултат от огромни усилия и самоотричане.

Хамилтън спрял, когато видял, че при трансформации на криви под действието на потоците Ричи се образуват единични (превръщащи се в безкрайност) зони, които не са предвидени от теоремата на Поанкаре. С прости думи, Перелман успява да неутрализира образуването на такива зони и разнообразието безопасно се превръща в сфера.

Ричи потоци

Просто свързано триизмерно многообразие е снабдено с геометрия, с метрични елементи с разстояние и ъгли. Това е по-лесно да се разбере на едномерни многообразия. Гладка затворена крива на евклидова равнина е надарена във всяка точка с допирателен вектор на единична дължина. При пресичане на крива векторът се върти с определена ъглова скорост, която определя кривината. Когато линията е по-извита, кривината е по-голяма. Кривината е положителна, ако векторът на скоростта е обърнат към вътрешността на равнината, която се разделя на нашата линия, и отрицателна, ако е обърната навън. В точките на инфлексията кривината е 0.

Сега на всяка точка от кривата се присвоява вектор перпендикулярно на вектора. ъгловата скорост и дължина, равна на стойността на кривината. Неговата посока е вътрешна с положителна кривина и навън с отрицателна. Всяка точка се прави, за да се движи в посоката и със скоростта, определена от съответния вектор. Затворена крива, начертана навсякъде в равнината, с такава еволюция се превръща в кръг. Това е вярно за измерение 3, което е необходимо да се докаже.

Няма пророк ...

Той отиде в Еверест, който е признат от математиците Поанкаре теорема. Доказателство Perelman публикува в интернет под формата на три малки статии. Те незабавно предизвикаха раздвижване, въпреки че руският математик не тръгна по пътя - публикуване в специализирано списание, придружено от професионални рецензии. Григорий Яковлевич обяснява същността на откритието си в американските университети за един месец, но броят на хората, които напълно разбират мисълта му за мисълта, нараства много бавно.

Само четири години по-късно се появи заключението на най-големите власти: доказателствата на руския математик са верни, първият от проблемите на хилядолетието е решен.

Ерата на социалните мрежи

Трябваше да издържи вълнението и грубостта в социалните мрежи, мълчанието на онези, които уважаваше, и виковете на другите, които го научиха на живота. Енергичният Китай първо оцени приноса си за решаване на проблема на 25%, като е преброил 80 за себе си и за другите! Тогава изглежда, че е дошло световното признание, но не всеки може да го устои. Искам да вярвам: той издържа и в живота си - хармонията на желанията и възможностите.