Обем на паралелепипеда: основни формули и примери за задачи

Често учениците питат: "Как мога да използвам това в живота?" По всяка тема от всеки предмет. Въпросът за обема на паралелепипеда не е изключение. И тук можете просто да кажете: "Това е полезно."

Как, например, да разберете дали пакетът ще се побере в пощенската кутия? Разбира се, чрез проба и грешка е възможно да изберете подходящия. И ако няма такава възможност? След това изчисленията ще дойдат на помощ. Знаейки капацитета на кутията, можете да изчислите обема на пакета (поне приблизително) и да отговорите на поставения въпрос.

Паралелепипед и неговите видове

Ако буквално преведете името му от древногръцкия, се оказва, че това е фигура, състояща се от паралелни равнини. Има такива еквивалентни определения на паралелепипед:

• призма с основа във формата на успоредник;
• полиедър, всяко лице на което е успоредник.

Неговите видове се открояват в зависимост от това коя фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ръбове. Като цяло те говорят за наклонен паралелепипед , чиято основа и всички лица са успоредни. Ако в предишния изглед страничните повърхности станат правоъгълници, тогава трябва да се наричат прави линии . А правоъгълната основа също има ъгъл от 90 °.

Последните в геометрията се опитват да представят така, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, се наблюдава основната разлика между математиците и художниците. Последно е важно да се прехвърли тялото в съответствие със закона за перспектива. И в този случай паралелността на ребрата е напълно невидима.

За въведените нотации

Във формулите по-долу, обозначението в таблицата е валидно.

Формули за наклонен паралелепипед

Първото и второто място:

Третият, за да се изчисли обемът на паралелепипеда:

Тъй като основата е успоредник, тогава за изчисляване на нейната площ ще трябва да използвате подходящите изрази.

Формули за правоъгълен паралелепипед

Подобно на първия елемент - две формули за области:

И още един за обема:

Първа задача

Състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем искате да намерите. Известен диагонал - 18 см - и фактът, че образува ъгли от 30 и 45 градуса с равнината на страничната повърхност и съответно страничния ръб.

Решението. За да отговорите на въпроса за проблема, трябва да знаете всички страни в три прави триъгълници. Те ще дадат необходимите стойности на ръбовете, които трябва да бъдат отчетени.

Първо трябва да разберете къде е ъгълът при 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, от който е извлечен главният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, което е необходимо.

Първият триъгълник, който ще даде една от стойностите на страните на основата, ще бъде следващ. Тя съдържа желаната страна и две диагонално задържани. Той е правоъгълен. Сега трябва да използвате съотношението на противоположната страна (базова страна) и хипотенузата (диагонал). Тя е равна на синуса от 30º. Това означава, че неизвестната страна на основата ще бъде дефинирана като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека бъде маркиран с буквата “а”.

Лесно е да се брои: a = 18 * ½ = 9 (cm).

Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Също така е правоъгълна и можете отново да използвате връзката на крака с хипотенузата. С други думи, страничният ръб на диагонала. Тя е равна на косинуса от 45º. Това означава, че "c" се изчислява като произведение на диагонала от косинуса от 45º.

c = 18 * 1 / =2 = 9 (2 (cm).

В същия триъгълник е необходимо да се намери друг крак. Това е необходимо, за да се преброи третото неизвестно - "в". Нека бъде маркиран с буквата "x". Лесно е да се изчисли по теоремата на Питагор:

x = √ (18 ² - (9) ² ) ² ) = 9√2 (cm).

Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Той съдържа вече познатите страни "s", "x" и тази, която трябва да преброите, "c":

c = √ ((9√2) ² - 9 ² = 9 (cm).

И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за тома и да го преброите:

V = 9 * 9 * 9'2 = 729'2 (cm3).

Отговор: обемът на паралелепипеда е 729 × 2 cm ³ .

Втора задача

Състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипеда. Известни са страни на успоредника, който лежи в основата, 3 и 6 см, както и остър ъгъл - 45º. Страничният ръб има наклон към основата от 30º и е 4 cm.

Решението. За да отговорите на въпроса за проблема, трябва да вземете формулата, написана за обема на наклонения паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.

Площта на основата, т.е. паралелограма, ще бъде определена от формулата, в която трябва да се умножат известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.

S _о = 3 * 6 sin 45º = 18 * ()2) / 2 = 9 (2 (cm ² ).

Втората неизвестност е височината. Тя може да бъде изтеглена от всеки от четирите върха над базата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е крак, а страничният край е хипотенузата. Ъгълът от 30º е разположен срещу непознатата височина. Така че, можете да използвате отношението на крака към хипотенузата.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Сега всички стойности са известни и можете да изчислите обема:

V = 9 '2 * 2 = 18'2 (cm3).

Отговор: обемът е 18 cm 2 cm ³ .

Трета задача

Състояние. Намерете обема на паралелепипеда, ако знаете, че той е прав. Страните на основата му образуват успоредник и са 2 и 3 см. Остър ъгъл между тях е 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.

Решението. За да разберем обема на паралелепипеда, използваме формулата с основната площ и височината. И двете количества са неизвестни, но не са трудни за изчисляване. Първата е височина.

Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда съвпада размер с по-голяма основа, те могат да бъдат обозначени с една буква d. По-големият ъгъл на успоредника е 120º, тъй като образува 180º с остър. Нека вторият диагонал на основата да бъде маркиран с буквата “x”. Сега за двете основни диагонали могат да бъдат написани косинусни теореми :

d ² = a ² + в ² - 2av cos 120º,

x ² = a ² + в ² - 2av cos 60º.

Намирането на стойности без квадратчета няма смисъл, тъй като тогава те отново ще бъдат повишени до втората. След като се получи заместване на данните:

d ² = 2 ² + 3 ² - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x ² = a ² + в ² - 2av cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Сега височината, която е страничният край на паралелепипеда, ще бъде кракът в триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият ще бъде “x”. Можете да напишете Питагоровата теорема:

n ² = d ² - x ² = 19 - 7 = 12.

Оттук: n = √12 = 2√3 (cm).

Сега второто неизвестно количество е площта на базата. Тя може да бъде отчетена чрез формулата, спомената във втория проблем.

S _о = 2 * 3 sin 60º = 6 * /3 / 2 = 3√3 (cm2).

Комбинирайки всичко във формулата на обема, получаваме:

V = 3'3 * 2'3 = 18 (cm3).

Отговор: V = 18 cm ³ .

Четвърта задача

Състояние. Необходимо е да се знае обема на паралелепипеда, който отговаря на тези условия: база - квадрат със страна 5 см; страничните повърхности са ромбови; един от върховете над основата е равноотдалечен от всички върхове в основата.

Решението. Първо трябва да се справите с това състояние. С първия абзац на площада няма въпроси. Вторият, за ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките й ръбове са 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. И от третата става ясно, че трите диагонали, извлечени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните повърхности, а последният е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест, те също имат дължина от 5 cm.

За да се определи обема, ще е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. Отново няма известни стойности. Въпреки това, площта на базата е лесна за изчисляване, защото е квадратна.

_S0 = 5 = 25 (cm2).

Малко по-трудно е случаят с височината. Тя ще бъде такава на три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. Последното обстоятелство и трябва да се възползват.

Тъй като е височина, това е крак в правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в нея ще бъде известен край, а вторият крак е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е средната). А диагоналът на базата е лесен за намиране:

d = √ (2 х 5 ² ) = 5√2 (cm).

Необходимо е да се преброи височината като разлика от втората степен на ръба и квадрата на половината от диагонала и не забравяйте да го извадите по-късно. квадратен корен :

n = √ (5 ² - (5/2 * ) ² ) ² ) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 (2 (cm).

Остава да преброите силата на звука:

V = 25 х 2.5 х2 = 62.5 ± 2 (смз).

Отговор: 62,5 ± 2 (см ³ ).