Как да намерим хипотенузата: 4 начина да намерим отговора

След изучаване на темата прави триъгълници учениците често отхвърлят цялата информация за тях. Включително и как да се намери хипотенузата, да не говорим за това.

И напразно. Защото по-късно диагоналът на правоъгълника се оказва тази много хипотенуза и трябва да бъде намерена. или диаметър на кръг съвпада с най-голямата страна на триъгълника, единият от които е прав. И да го намерите без това знание е невъзможно.

Има няколко възможности за намиране на хипотенузата на триъгълник. Изборът на метод зависи от първоначалните данни в изложението на стойността на проблема.

Метод номер 1: И двата са дадени

Това е най-запомнящият се метод, защото използва Питагоровата теорема. Само понякога учениците забравят, че тази формула е квадратът на хипотенузата. Така че, за да намерите самата страна, ще трябва да извлечете квадратен корен. Следователно формулата за хипотенузата, която обикновено се обозначава с буквата "с", ще изглежда така:

c = √ (a ² + in ² ) , където ^двете букви на десния триъгълник са написани с буквите “а” и “b”.

Метод номер 2: Известен на крака и ъгъл, който е съседен на него

За да научите как да намерите хипотенузата, ще трябва да си припомните тригонометричните функции. А именно косинус. За удобство приемаме, че са дадени кракът "а" и ъгълът а, съседни на него.

Сега трябва да помним, че косинусът на ъгъла на правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на двете страни. Числителят ще бъде стойността на крака, а знаменателят - хипотенузата. От това следва, че последното може да се изчисли по формулата:

c = a / cos α .

Метод номер 3: даден крак и ъгълът, който лежи срещу него

За да не се объркаме във формулите, ние въвеждаме нотацията за този ъгъл - β и оставяме страната като преди “а”. В този случай е необходима друга тригонометрична функция - синус.

Както в предишния пример, синусът е равен на съотношението на крака към хипотенузата. Формулата за този метод е следната:

c = a / sin β .

За да не се заплете в тригонометричните функции, можете да си спомните простото мнемонично правило: ако проблемът се отнася до противоположния ъгъл, тогава трябва да използвате s и nus, ако става въпрос за pr и лъжа, а след това за синуса. Трябва да се обърне внимание на първите гласни в ключовите думи. Те образуват двойки o-и или -o .

Метод номер 4: по обиколката на кръга

Сега, за да научим как да намерим хипотенузата, трябва да си припомним свойствата на кръг, който е описан около правоъгълен триъгълник. То гласи следното. Центърът на кръга съвпада с средата на хипотенузата. Казано по друг начин, най-голямата страна на правоъгълен триъгълник е диагоналът на кръг. Това е двойно радиусът. Формулата за тази задача ще изглежда така:

c = 2 * r , където r е известният радиус.

Това са всички възможни начини за намиране на хипотенузата на правилния триъгълник. За да използвате във всяка конкретна задача, се нуждаете от по-подходящия метод за набор от данни.

Пример номер на проблем 1

Състояние: в правоъгълен триъгълник медианите се привличат към двата крака. Дължината на една от по-голямата страна е side52. Другата медиана е 73 години. За да се изчисли хипотенузата.

Решението.

Тъй като медианите са нарисувани в триъгълника, те разделят краката на два равни сегмента. За удобство, разсъждение и намиране как да намерите хипотенузата, трябва да въведете няколко символа. Нека и двете половини на по-големия катет да бъдат маркирани с буквата “x”, а другата с “y”.

Сега трябва да разгледаме два правилни триъгълника, хипотенусите от които са известни медиани. За тях трябва да пишете два пъти Формула на Питагорова теорема :

(2y) ² + x ² = ()52) ²

и

(y) ² + (2x) ² = ()73) ² .

Тези две уравнения образуват система с две неизвестни. След като ги решат, ще бъде лесно да се намерят краката на първоначалния триъгълник и, според тях, хипотенузата.

Първо трябва да изградите всичко до втората степен. Оказва се:

4y2 + x2 = 52

и

при ² + 4x ² = 73.

От второто уравнение може да се види, че ² = 73 - 4x2. Този израз трябва да бъде заменен в първия и да се изчисли "x":

4 (73 - 4x ² ) + х ² = 52.

След реализация:

292 - 16 х ² + х ² = 52 или 15 х ² = 240.

От последния израз x = =16 = 4.

Сега можете да изчислите "y":

y ² = 73 - 4 (4) ² = 73 - 64 = 9.

y = 3.

Според състоянието се оказва, че краката на първоначалния триъгълник са 6 и 8. Следователно, можете да използвате формулата от първия метод и да намерите хипотенузата:

√ (6 ² + 8 ² ) = √ (36 + 64) = =100 = 10.

Отговор : хипотенузата е 10.

Примерна задача номер 2

Условие: изчислява се диагоналът, изчертан в правоъгълник с по-малката страна, равна на 41. Ако е известно, че той разделя ъгъла на тези, които се отнасят като 2 към 1.

Решението.

При тази задача диагоналът на правоъгълника е най-голямата страна в триъгълника с ъгъл от 90º. Следователно всичко се свежда до това как да се намери хипотенузата.

Проблемът е в ъглите. Това означава, че ще трябва да използвате една от формулите, в които има тригонометрични функции. И първо трябва да се определи стойността на един от острите ъгли.

Нека по-малкият от ъглите, посочени в условието, да бъде α. Тогава десният ъгъл, който се дели на диагонала, ще бъде равен на 3α. Математическата нотация за това е:

90º = 3 α.

От това уравнение просто определете α. Тя ще бъде равна на 30º. И ще лежи срещу по-малката страна на правоъгълника. Следователно ще ви е необходима формулата, описана в метод номер 3.

Хипотенузата е равна на съотношението на крака към синуса на противоположния ъгъл, т.е.

41 / sin 30º = 41 / (0.5) = 82.

Отговор: хипотенузата е 82.