Особености при решаване на задачи за определяне скоростта на реката. Примери за решения
Един от очарователните проблеми в математиката и физиката, който учителят предлага да разреши на учениците, е проблемът за определяне скоростта на потока на реката. В тази статия ще разгледаме особеностите на решаването на тези проблеми и ще дадем конкретни примери.
Какви задачи ще бъдат обсъждани?
Всеки знае, че водата в реката има определен дебит. Плоските реки (Дон, Волга) текат сравнително бавно, а малките планински реки се отличават със силен ток и наличие на водни фунии. Всеки плаващ обект, който е хвърлен в реката, ще се отдалечи от наблюдателя със скоростта на речния поток.
Хората, които се къпеха в реката, знаят, че е много трудно да плуват срещу течението му. За да се движите на няколко метра, трябва да положите много повече усилия, отколкото когато се движите в застоялата вода на езерото. Напротив, потокът се извършва без почти никаква консумация на енергия. Достатъчно е да поддържаме тялото на повърхността.
Всички тези характеристики ни позволяват да направим следното важно заключение: ако тяло, което има скорост v в неподвижна вода, се движи в речното корито, то неговата скорост спрямо брега ще бъде равна на:
- v + u за потока;
- v - u за движение срещу тока.
Тук u е дебитът.
Ако тялото се движи под определен ъгъл към потока, тогава полученият вектор на неговата скорост ще бъде равен на сумата от векторите v¯ и u¯.
Формули за запомняне
В допълнение към горната информация, за решаване на проблемите на скоростта на реката трябва да запомните няколко формули. Ние ги изброяваме.
Скоростта на тока е постоянна стойност, но скоростта на тялото (лодка, лодка, плувец) в общия случай може да варира, както по величина, така и по посока. За равномерно праволинейно движение важи следната формула:
S = v * t
Когато S е изминатото разстояние, v е скоростта на движение на тялото. Ако движението се случи с ускорение a, тогава следва да се приложи формулата:
S = a * t 2/2
В допълнение към тези формули, за да се решават успешно проблемите, трябва да могат да се използват тригонометрични функции при разграждане на векторите на скоростта в компоненти.
Сега се обръщаме към решаването на конкретни проблеми.
Задача с лодка и рибар
Един рибар решил да отиде на лодката си без мотор срещу течението на реката на разстояние от 2 километра. В застояла вода той би покрил това разстояние за 30 минути, но когато караше по реката, щеше да има нужда от цял час. Необходимо е да се намери какъв е дебитът на реката.
Тъй като скоростта на водата в реката е неизвестна, ще я обозначим с буквата x. Скоростта на лодката също е неизвестна, но може да се изчисли, като се използват стойностите от условието за движение в неподвижна вода. Вземете за лодки скорост v:
v = S / t 1 = 2 / 0.5 = 4 km / h
Открихме скоростта, с която рибар на лодка може да се движи по спокойно езеро. За да се намери скоростта на лодката срещу тока, е необходимо да се извади стойността на x от намерената стойност. След това, за да се качим нагоре по реката, можем да напишем следното уравнение:
S = (4 - x) * t 2
Изразете от тук стойността на неизвестния параметър, имаме:
х = 4 - S / t 2
Остава да се заменят номерата от състоянието на проблема и да се запише отговорът:
x = 4 - S / t 2 = 4 - 2/1 = 2 km / h
Така скоростта на течението в реката е половината от скоростта на лодката.
Задача с моторна лодка
Моторната лодка прави ежедневни преходи по реката от точка А до точка Б. Разстоянието между А и В е 7 км. Известно е, че скоростта на лодката надолу по течението е 8 km / h. Каква е скоростта на тока, ако лодката прекара 10 минути повече време по пътя надолу по реката, отколкото когато се движи нагоре по нея?
В този случай не знаем нито скоростта на моторната лодка, нито скоростта на водата в реката. Първото се обозначава като y, а второто - като x. След това можете да напишете следните четири уравнения:
х + у = 8;
S / t 1 = х + у;
S / t 2 = y - х;
t 2 - t 1 = 1/6
Първото уравнение отразява скоростта на лодката надолу по веригата, второто и третото уравнение отразяват времето и скоростта, когато се движат съответно надолу и нагоре по реката. Четвъртото уравнение следва от състоянието на проблема за времевата разлика между предните и обратните пътеки между точки А и Б.
Първо, от тези уравнения намираме времето t 1 и t 2 :
t 1 = 7/8 = 0.875 h;
t 2 = 1/6 + 7/8 = 1.0417 h
За да определите скоростта х на водата в реката, извадете третото уравнение от второто, получаваме:
S / t 1 - S / t 2 = 2 * x =>
x = S / 2 * (1 / t 1 - 1 / t 2 )
Подменяйки изчислените стойности на t 1 и t 2 в това равенство, както и разстоянието между точките S, виждаме, че водата в реката тече със скорост 0.64 км / ч.
Задача: движението на лодката под ъгъл спрямо тока
Сега решаваме проблема, който изисква способността да се използват тригонометрични формули.
Лодката започна да се движи от една страна на реката към друга под ъгъл от 60 o към тока. Скоростта на лодката в неподвижна вода е 10 km / h. Скоростта на тока е 2 км / ч. Необходимо е да се определи доколко лодката ще се движи по крайбрежието, пристигайки на противоположната страна на реката. Ширината на речното корито е 500 метра.
Тази задача трябва да бъде решена чрез разбиване на пътя на лодката на два компонента: перпендикулярно и успоредно на брега. Използвайки данните на задачата, за перпендикулярния компонент на пътя, можете да напишете израза:
v * sin (60 o ) * t = S 1
Където v е скоростта на лодката, S 1 е ширината на реката. Подменяйки данните, намираме времето, когато лодката е била на път:
t = S1 / (v * sin (60 o )) = 0.0577 h
За да се изчисли пътят S 2, успореден на брега, скоростта на потока трябва да се добави към хоризонталната проекция на скоростта на лодката, след което съответното равенство ще бъде:
S 2 = (v * cos (60 o ) + 2) * t
Подменяйки известните стойности, получаваме отговор: лодката по крайбрежието ще пътува 404 метра.