Разлагане на квадратни триноми на фактори: примери и формули

Разлагането на квадратните триместери на фактори се отнася до училищните задачи, пред които всички са изправени рано или късно. Как да го направя? Каква е формулата за разлагане на квадратните триномиални фактори? Ще разберем стъпка по стъпка, като използваме примери.

Обща формула

Разграждането на квадратните триноми на фактори се извършва чрез решаване на квадратично уравнение. Това е проста задача, която може да бъде решена с няколко метода - намиране на дискриминант, използвайки теоремата Виета, има и графично решение. Първите два метода се изучават в гимназията.

lx ² +kx+n=l(xx ₁ )(xx ₂ ) (1) Общата формула е следната: lx ² + kx + n = l (xx ₁ ) (xx ₂ ) (1)

Алгоритъм за изпълнение на задачи

За да извършите факторизация на квадратни триноми, трябва да знаете теоремата на Вит, да имате под ръка решение, да намерите графично решение или да потърсите корените на уравнение от втора степен чрез дискриминантната формула. Ако е даден квадратен трином и трябва да бъде факторизиран, последователността на действията е следната:

1) Приравнете оригиналния израз до нула, за да получите уравнението.

2) Въведете такива условия (ако има такава нужда).

3) Намерете корените по всеки известен начин. Най-добре се използва графичният метод, ако предварително се знае, че корените са цели числа и малки числа. Трябва да се помни, че броят на корените е равен на максималната степен на уравнението, т.е. квадратично уравнение два корена.

4) Заменя стойността на x в израза (1).

5) Напишете декомпозицията на квадратен триномен фактор.

примери

Накрая разберете как се изпълнява тази задача, позволява практиката. Илюстрирайте факторинга на квадратните триномически примери:

Необходимо е да се разшири изразът:

x ² -17x = -32

Нека прибегнем до нашия алгоритъм:

1) x ² -17x + 32 = 0

2) сходни термини се намаляват

3) според Viet формулата е трудно да се намерят корените за този пример, защото е по-добре да се използва изразът за дискриминант:

D = 289-128 = 161 = (12.69) ²

х ₁ = 2,155

х2 = 14,845

4) Заместване на корените, които открихме в основната формула за разлагане:

(x-2.155) _* (x-14.845)

5) Тогава отговорът ще бъде:

x ² -17x + 32 = (x-2.155) (x-14.845)

Проверете дали намерените от дискриминанта решения съответстват на формулите Viet:

2,155 + 14,845 = 17

14,845 ^. 2,155 = 32

За тези корени се прилага Виетската теорема, те са намерени правилно, което означава, че получената факторизация също е вярна.

По същия начин се декомпозира 12x2 + 7x-6.

12x2 + 7x-6 = 0

D = 337

x ₁ = -7 + (337) ^1/2

х2 = -7- (337) ^1/2

В предишния случай решенията бяха нецелни, но реални числа, които лесно се намират, като пред вас има калкулатор. Сега разгледайте по-сложен пример, в който корените ще бъдат сложни: факторинг х ² + 4х + 9. Според формулата за Виета корените не могат да бъдат намерени, а дискриминантът е отрицателен. Корените ще бъдат на сложната равнина.

D = -20

Изхождайки от това, получаваме интересни корени -4 + 2i * 5 ^1/2 и -4-2i _* 5 ^1/2 , защото (-20) ^1/2 = 2i * 5 ^1/2 .

Получаваме желаното разлагане, като заместваме корените в общата формула.

Друг пример: трябва да посочите израза 23x ² -14x + 7.

=0 Имаме уравнението 23x2 -14x + 7 = 0

D = -448

Това означава, че корените са 14 + 21,166i и 14-21,166i. Отговорът ще бъде:

23х2 -14х + 7 = 23 (х-14-21,166i) * (х-14 + 21,166i).

Нека дадем пример, който може да бъде решен без помощта на дискриминант.

Да предположим, че трябва да разширим квадратичното уравнение x 2 -32x + 255. Очевидно е, че той може да бъде решен чрез дискриминант, но в този случай корените е по-бързо.

x 1 = 15

x 2 = 17

Така че х2 -32х + 255 = (х-15) (х-17).