Биномно разпределение: определение, формула, примери

Теорията за вероятността е невидимо присъства в нашия живот. Ние не обръщаме внимание на това, но всяко събитие в нашия живот има определена вероятност. Имайки предвид огромния брой сценарии, е необходимо да определим най-вероятните и най-малко вероятни от тях. Най-удобно е графично да се анализират такива вероятностни данни. Разпространението може да ни помогне в това. Биномиал - един от най-лесните и най-точни.

Преди да се обърнем директно към математиката и теорията на вероятностите, нека се справим с тези, които първо са създали този вид дистрибуция и каква е историята на развитието на математическия апарат за тази концепция.

История на

Понятието за вероятност е известно още от древни времена. Въпреки това, древните математици не му придават голямо значение и са могли да положат само основите на теорията, която по-късно става теория на вероятността. Те създават някои комбинаторни методи, които до голяма степен помагат на онези, които по-късно създават и развиват самата теория.

През втората половина на ХVII век започва формирането на основните понятия и методи на теорията на вероятността. Въведени са дефиниции на случайни променливи, методи за изчисляване на вероятността от прости и някои комплексни независими и зависими събития. Такъв интерес към случайни променливи и вероятности беше продиктуван от хазарта: всеки искаше да знае какви са шансовете му да спечели играта.

Следващата стъпка беше прилагането на методи в теорията на вероятностите математически анализ. Известни математици, като Лаплас, Гаус, Поасон и Бернули, поеха тази задача. Те развиват тази област на математиката на ново ниво. Джеймс Бернули откри Джеймс Бернули. Между другото, както ще разберем по-късно, още няколко бяха направени въз основа на това откритие, което позволи да се създаде закон за нормално разпределение и много други.

Сега, преди да започнем да описваме разпределението на бинома, ще опресним малко понятията за теория на вероятността, вероятно вече забравени от училище.

Основи на теорията на вероятностите

Ще разгледаме такива системи, в резултат на които са възможни само два резултата: "успех" и "неуспех". Това е лесно да се разбере с един пример: хвърляме монета, предполагайки, че опашките ще паднат. Вероятностите за всяко едно от възможните събития (опашките изпадат - "успех", орелът изпада - "не успех") са 50 процента с перфектно балансиране на монетата и липсата на други фактори, които могат да повлияят на експеримента.

Това беше най-простото събитие. Но има и сложни системи, в които се изпълняват последователни действия, а вероятностите за резултатите от тези действия ще варират. Например, помислете за такава система: в кутия, съдържанието на която не можем да видим, са шест абсолютно еднакви топки, три двойки сини, червени и бели. Трябва да получим няколко топки на случаен принцип. Съответно, като първо издърпаме една от белите топки, ще намалим понякога вероятността следващият да получи и бяла топка. Това се случва, защото броят на обектите в системата се променя.

В следващия раздел ще разгледаме по-сложни математически понятия, които ни отвеждат към думите “нормално разпределение”, “биномиално разпределение” и т.н.

Елементи на математическата статистика

В статистиката, която е една от областите на приложение на теорията на вероятностите, има много примери, при които данните за анализ не са дадени изрично. Тоест, не в цифрова, а под формата на разделение според знаците, например по пол. За да се приложи математически апарат към такива данни и да се направят заключения от получените резултати, е необходимо първоначалните данни да се преобразуват в цифров формат. По правило, за постигането на този резултат, на положителния резултат се присвоява стойност 1, а на отрицателен - стойност 0. Така получаваме статистически данни, които могат да бъдат анализирани с помощта на математически методи.

Следващата стъпка в разбирането на това какво е биномиалното разпределение на случайна променлива е да се определи дисперсията на случайната променлива и математическото очакване. Това е обсъдено в следващия раздел.

Математически очаквания

Всъщност е лесно да се разбере какво е очакването. Помислете за система, в която има много различни събития с техните различни вероятности. Математическото очакване ще се нарича стойност, равна на сумата от продуктите на стойностите на тези събития (и математическата форма, която обсъдихме в последния раздел) за вероятността за тяхното изпълнение.

Математическото очакване на биномното разпределение се изчислява по същата схема: вземаме стойността на случайна величина, умножаваме я с вероятността за положителен резултат, и след това обобщаваме получените данни за всички величини. Много е удобно да се представят графично тези данни - по този начин разликата между математическите очаквания за различните количества се възприема по-добре.

В следващия раздел ще ви разкажем малко за друга концепция - вариацията на случайна променлива. Тя е тясно свързана и с такова понятие като биномното разпределение на вероятностите и е негова характеристика.

Дисперсията на биномното разпределение

Тази стойност е тясно свързана с предходната и характеризира разпространението на статистически данни. Той представлява средния квадрат на отклоненията на стойностите от техните очаквания. Това означава, че вариацията на случайна променлива е сумата от квадратите на разликите между стойността на случайната променлива и нейното очакване, умножена по вероятността на това събитие.

Като цяло, това е всичко, което трябва да знаем за вариацията, за да разберем какво е биномното разпределение на вероятностите. Сега се обръщаме директно към основната ни тема. А именно, на това, което се крие зад една толкова привидно сложна фраза "закон за биномиалното разпределение".

Биномно разпределение

Нека първо разберем защо това разпределение е биномно. Той идва от думата "бин". Може би сте чували за бинома на Нютон, формула, с която можете да разложите сумата от две произволни числа a и b във всяка не-отрицателна степен n.

Както вероятно вече се досещате, биномната формула на Нютон и формулата за биномиално разпределение са почти идентични формули. Единственото изключение е, че вторият има приложна стойност за определени количества, а първият е само общ математически инструмент, чиито приложения на практика могат да бъдат различни.

Формули за разпространение

Биномиалната функция на разпределение може да бъде записана като сума от следните членове:

(n! / (nk)! k!) * p ^k * q ^nk

Тук n е броят на независимите случайни експерименти, p е броят на успешните резултати, q е броят на неуспешните резултати, k е броят на експеримента (може да приема стойности от 0 до n),! - обозначение на факториал, такава функция на число, чиято стойност е равна на произведението на всички числа, които достигат до него (например за число 4: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24).

В допълнение, функцията на биномното разпределение може да бъде записана като непълна бета функция. Това обаче е по-сложна дефиниция, която се използва само за решаване на сложни статистически проблеми.

Биномиалното разпределение, примерите за което разгледахме по-горе, е един от най-простите видове разпределения в теорията на вероятностите. Има и нормално разпределение, което е вид бином. Използва се най-често и най-просто в изчисленията. Има също разпределение на Бернули, разпределение на Пуасон, условно разпределение. Всички те характеризират графично вероятностите на процеса при различни условия.

В следващия раздел ще разгледаме аспекти, свързани с използването на този математически апарат в реалния живот. На пръв поглед, разбира се, изглежда, че това е друго математическо нещо, което, както обикновено, не намира приложение в реалния живот и обикновено не е необходимо на никого, освен на самите математици. Това обаче е далеч от случая. В крайна сметка всички видове дистрибуции и техните графични изображения са създадени изключително за практически цели, а не като прищявка на учени.

приложение

Разбира се, най-важното използване на разпределението, което се намира в статистиката, защото те се нуждаят от цялостен анализ на набора от данни. Както показва практиката, много масиви от данни имат приблизително еднакво разпределение на стойностите: критичните области на много ниски и много високи стойности, като правило, съдържат по-малко елементи от средните стойности.

Анализът на големи количества данни се изисква не само в статистиката. Тя е необходима, например, във физическата химия. В тази наука тя се използва за определяне на много от количествата, които са свързани със случайни колебания и движения на атоми и молекули.

В следващия раздел, нека да видим колко важно е използването на такива статистически понятия като биномиалното разпределение на случайна променлива в ежедневния живот за вас и мен.

Защо ми трябва?

Много хора си задават този въпрос, когато става въпрос за математика. И между другото, математиката не се нарича кралица на науката. Тя е в основата на физиката, химията, биологията, икономиката и във всяка от тези науки се прилага и някакво разпределение: дали това дискретно биномно разпределение, или нормално, не е важно. И ако погледнем по-отблизо света около нас, ще видим, че математиката се използва навсякъде: във всекидневния живот, в работата и дори човешките отношения могат да бъдат представени като статистически данни и анализирани (между другото, тези, които работят в специални организации, които събират информация).

Сега нека поговорим малко за това какво да правим, ако трябва да знаете много повече за тази тема, отколкото това, което сме посочили в тази статия.

Какво още можете да прочетете?

Информацията, която предоставихме в тази статия, далеч не е пълна. Има много нюанси по отношение на това, каква форма може да поеме разпределението. Биномиалното разпределение, както вече установихме, е един от основните типове, на които се основават всички математически статистики и теория на вероятностите.

Ако ви стана интересно или във връзка с работата ви, трябва да знаете много повече по тази тема, ще трябва да изучавате специализирана литература. Трябва да започнем с университетския курс по математически анализ и да отидем там в секцията на теорията на вероятностите. Също така ще бъде полезно знание в областта на серията, тъй като биномното разпределение на вероятностите е нищо повече от поредица от последователни членове.

заключение

Преди да завършим статията, бихме искали да кажем още едно интересно нещо. Тя се отнася пряко до темата на нашата статия и цялата математика като цяло.

Много хора казват, че математиката е безполезна наука и нищо, през което са преминали в училище, не им е било от полза. Но знанието никога не е излишно и ако нещо не ви е полезно в живота, това означава, че просто не го помните. Ако имате знания, те могат да ви помогнат, но ако не са там, няма нужда да чакате помощ от тях.

Затова разгледахме концепцията за биномиалното разпределение и всички свързани дефиниции и говорихме за това как това се отнася за нашия живот.