Аритметична прогресия - числова последователност
Някой е предпазлив от думата „прогресия“ като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно, най-простата аритметична прогресия е работата на таксиметър (където те все още остават). И за да разберем същността (и в математиката няма нищо по-важно от "да разберем същността") на една аритметична последователност не е толкова трудно, след като разбираме няколко елементарни понятия.
Математическа последователност на числата
Числовата последователност обикновено се нарича поредица от числа, всяка от които има свой собствен номер.
и 1 - първият член на последователността;
и 2 - вторият член на последователността;
...
и 7 - седмия член на последователността;
...
и п е n-ти член на последователността;
Не ни интересува обаче произволен набор от числа и числа. Нашето внимание ще бъде съсредоточено върху цифрова последователност, в която стойността на n-тия член е свързана с нейния порядък с връзка, която може да бъде ясно посочена математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е функция на n.
когато:
а е стойността на номера на последователността на числата;
n е неговият пореден номер;
f (n) е функция, където поредният номер в числовата последователност n е аргумент.
дефиниция
Аритметичната прогресия се нарича цифрова последователност, в която всеки следващ срок е по-голям (по-малък) от предишния с един и същ номер. Формулата за n-тия член на аритметичната последователност е следната:
където
a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;
a n + 1 е формулата за следващото число;
d - разлика (определен брой).
Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d> 0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще се увеличава.
например:
a 1 = 5
d = 3
след това
номер на член - n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
стойност на член - a n | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
В графиката по-долу не е трудно да се проследи защо цифровата последователност се нарича "увеличаване".
В случаите, когато разликата е отрицателна (d <0), всеки следващ член, по очевидни причини, ще бъде по-малък от предишния, графиката на прогресията ще "отиде" надолу, съответно аритметичната прогресия ще бъде наричана намаляваща.
Стойността на посочения член
Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен термин an на аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислявате последователно стойностите на всички членове на една аритметична прогресия, от първата до желаната. Подобен път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на пет хилядна или осем милионна част. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Съществува и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметичната прогресия може да се определи като сумата от първия срок на прогресията, като разликата на прогресията се умножи по броя на члена, който трябва да се намери, намален с единица.
Формулата е универсална за възходяща и низходяща прогресия.
Пример за изчисляване на стойността на даден член
Решаваме следния проблем за намиране на стойността на n-тия член на аритметичната прогресия.
Условие: има аритметична прогресия с параметри:
- първият срок на последователността е 3;
- разликата в числовите серии е 1.2.
Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 членове
Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:
a (n) = a1 + d (n-1)
Подставяйки в израза данните от условията на проблема, имаме:
a (214) = a1 + d (n-1)
а (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Отговор: 214-ият член на поредицата е равен на 258.6.
Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.
Размерът на определен брой членове
Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на даден сегмент от нея. За това също не е необходимо да се изчисляват стойностите на всеки член и след това да се обобщават. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума е намерена, е малък. В други случаи е по-удобно да се използва следната формула.
Сумата от членовете на една аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата на първия и n-тия член, умножена по броя на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:
Пример за изчисление
Например, разрешете проблема със следните условия:
- първият срок на последователността е нула;
- разликата е 0,5.
Задачата е да се определи сумата от членовете на поредицата от 56-та до 101-та.
Решението. Използваме формулата за определяне на размера на прогресията:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) / n / 2
Първо, дефинираме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, замествайки във формулата данните за условията на нашата задача:
s 101 = (2 + 0 + 0.5 ∙ (101-1)) /2 101/2 = 2 525
Очевидно е, че за да се намери сумата на членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101 .
s 55 = (2 + 0 + 0.5 ∙ (55-1)) /2 55/2 = 742.5
Така сумата на аритметичната прогресия за този пример:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742.5 = 1 782.5
Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия
В края на статията ще се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметъра (брояч за таксиметрови автомобили). Помислете за този пример.
Кацане в такси (което включва 3 километра) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстоянието за пътуване е 30 км. Изчислете стойността на пътуването.
1. Изхвърлете първите 3 км, чиято цена е включена в цената на разтоварване.
30 - 3 = 27 км.
2. Допълнителното изчисление не е нищо повече от анализ на аритметични числа.
Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).
Стойността на члена е сума.
Първият член в този проблем ще бъде равен на a 1 = 50 p.
Разликата на прогресия d = 22 p.
броят на интересите е стойността на (27 + 1) -т член на аритметичната прогресия - показанията на брояча в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Формулите, описващи определени числови последователности, се използват за изчисляване на календарни данни за произволно дълъг период. В астрономията дължината на орбитата е в геометрична зависимост от разстоянието на небесно тяло до звезда. В допълнение, различни числени серии се прилагат успешно в статистиката и други приложни области на математиката.
Друг тип числова последователност е геометрична.
Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Не случайно в политиката, социологията и медицината често се казва, че процесът се развива експоненциално, за да покаже високата степен на разпространение на феномена, например болест при епидемия.
N-тият член на геометричните серии от числа се различава от предходния по това, че се умножава по фиксирано число - знаменателят, например, първият срок е 1, знаменателят е 2, съответно:
n = 1: 1 = 2 = 2
n = 2: 2 = 2 = 4
n = 3: 4 = 2 = 8
n = 4: 8 '2 = 16
п = 5: 16 '2 = 32,
n = 6: 32 = 2 = 64 и така нататък ...
когато:
b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;
b n + 1 - формулата за следващия член на геометричната прогресия;
q е знаменателят на геометричната прогресия (константно число).
Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната една рисува малко по-различна картина:
Както и в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формулата за стойността на произволен термин. Всеки n-ти член на геометричната прогресия е равен на произведението на първия член от знаменателя на прогресията до степен n, намалена с едно:
Пример. Имаме геометрична прогресия с първия член, равен на 3, а знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете петия член на прогресията
b 5 = b 1 ( q (5-1) = 3 4 1.5 4 = 15.1875
Сумата на даден брой членове се изчислява и по специална формула. Сумата n на първите членове на геометричната прогресия е равна на разликата на произведението на n-тия член от прогресията по знаменателя и първия член на прогресията, разделен на знаменателя, намален с един:
Ако b n се замени, като се използва горната формула, стойността на сумата n на първите членове на разглежданите серии от числа приема формата:
Пример. Геометрична прогресия започва с първия срок, равен на 1. Знаменателят е настроен на 3. Намерете сумата на първите осем членове.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280