Проблеми, решени с помощта на уравнението: примери, обяснение. Проблеми с алгебрата

Рано или късно всеки ученик в уроците по алгебра ще срещне проблеми, решени от уравнението. Първоначално появата на буквите вместо обичайните числа и действия с тях объркваха дори най-надарените, но ако погледнете, всичко не е толкова трудно, колкото изглежда на пръв поглед.

Алгоритъм на решението

Преди да се обърнем към конкретни примери, е необходимо да разберем алгоритъма за решаване на задачи с помощта на уравнения. Във всяко уравнение има неизвестно, най-често се обозначава с буквата X. Също така във всеки проблем има това, което трябва да се намери, същото неизвестно. Именно това трябва да бъде определено като X. След това, следвайки състоянието на проблема, добавяйте, изваждайте, умножавайте и разделяйте - извършвайте всички необходими действия.

След намирането на неизвестното е наложително да се извърши проверката, за да се уверите, че проблемът е решен правилно. Заслужава да се отбележи, че децата, които вече са в началното училище, започват да решават проблемите с помощта на уравнения. Примери за това са онези задачи, които трябва да бъдат решени чрез сегменти, които са най-пълните аналози на неизвестните букви.

В основата на основите - проблемът с кошницата

Така че нека се опитаме на практика да приложим решението на проблемите с помощта на уравнения, обяснението на който алгоритъмът е даден малко по-високо.

Зададена е задача: Засадени са няколко кошници с ябълки. Първо бяха продадени 3 кошници, след което бяха завършени още 8 кошници. Резултатът беше 12 кошници. Колко кошници с ябълки са били събрани ?

Започваме решението на проблема, като посочваме неизвестното - първоначалният брой на кошниците - буквата X. Сега започваме да правим уравнението: X (първоначално количество) - 3 (продавани кошници) + 8 (тези, които са събрани по-късно) = 12 (общ брой кошници) ), т.е. X - 3 + 8 = 12. Решавайки едно просто уравнение, получаваме, че X = 7. Уверете се, че сте извършили теста, т.е. заменете намереното число в уравнението: 7 - 3 + 8 наистина е равен на 12, т.е. проблемът е решен правилно.

Закрепване: концертни зали

Дава се следната задача: В две концертни зали има 450 места. Известно е, че в една зала има 4 пъти повече места, отколкото в другата. Трябва да знаете колко места във всяка стая .

За да решим подобни проблеми в алгебрата, отново трябва да приложим уравнението. Знаем, че сумата от две числа, една от които е 4 пъти по-голяма от другата, е 450. Нека броят на местата в по-малката зала, неизвестното, да бъде равен на X, тогава броят на местата в по-голямата зала е 4 * X = 4X. Следователно 450 = X + 4X = 5X. И тогава трябва да решите стандартното уравнение 450 = 5X, където X = 450/5 = 90, т.е. в по-малката зала има 90 места, което означава в по-голямата - 90 * 4 = 360. За да проверите дали проблемът е решен правилно, можете да проверите неравенството: 360 + 90 = 450, т.е. отговорът е правилен.

Класически: рафтове за книги

Но проблемите, решени от уравнението, могат да бъдат по-сложни. Например, има три рафтове с книги. Има още 8 книги на първия рафт, отколкото на втория, и 3 пъти повече на третия от втория, а броят на книгите на първия и третия рафтове е равен. Колко книги са на всеки рафт?

Ясно е, че трябва да се отдръпнете от втория рафт, който се намира в двете условия. Ако посочим броя на книгите за него за X, то на първия шелф X + 8 книги, а на третия - X * 3 книги, докато X + 8 = 3X. Решавайки уравнението, получаваме X = 4. Извършваме теста, замествайки неизвестното в равенство: 4 + 8 е наистина равен на 3 * 4, т.е. проблемът се решава правилно.

Практикувайте още: бобри

Както виждате, решаването на проблеми с уравнението е много по-лесно, отколкото изглежда на пръв поглед. Ще определим уменията за работа с уравнения с друга задача. Първият бобър изгриза някои дървета за един ден. Вторият бобър изгриза 6 пъти повече. Третият бобър е гризал 2 пъти повече дървета, отколкото първия, но 3 пъти по-малко от втория. Колко дървета хапе всеки бобър?

Задачата не е толкова сложна, колкото изглежда на пръв поглед. Първо откриваме неизвестното - в този проблем това е броят на дърветата, гризени от първия бобър. Следователно, вторият бобър унищожава 6 * X дървета, а третият - 2 * X, и този брой е 3 пъти по-малък от 6 * X. Направете уравнението: 6X = 3 * 2X. След като го решихме, получихме, че първият бобър гризе само едно дърво, след това второто - 6, а третото - 2. Подмествайки числата в уравнението, разбираме, че проблемът е решен правилно.

Свързваме уравненията и условията

Ако ви кажат: "За всеки проблем, изберете подходящото уравнение," - не се притеснявайте - това е напълно реално.

Дадени са следните уравнения:

1. 6 + Х = 2Х;
2. 6 = 2Х;
3. 2 + X = 6 .

Условията на задачите са следните:

1. Момчето е имало 6 ябълки, а момичето е два пъти по-малко, колко ябълки е имало момичето?
2. На масата са химикалки и моливи, известно е, че има 6 писалки на масата и 2 моливи по-малко, колко химикалки и колко моливи на масата?
3. Ваня има шест монети повече от Таня, а Таня е два пъти по-малка от Ани, колко монети има всяко дете, ако Ваня и Ани имат еднакво количество монети?

Ние правим уравнения за всеки от проблемите.

• В първия случай не знаем броя на ябълките в едно момиче, тоест, той е равен на X, знаем, че X е 2 пъти по-малък от 6, т.е. 6 = 2X, следователно уравнение № 2 отговаря на това условие.
• Във втория случай X показва броя на моливите, а след това - броя на X + 2 писалки, но знаем, че има 6 писалки, т.е. X + 2 = 6, което означава, че третото уравнение тук пасва.
• Що се отнася до последната задача, под номер 3, броят на танините, който се среща в две условия, е неизвестното неизвестно, тогава Ваня има 6 + X монети, а Ани има 2X монети, т.е. 6 + X = 2X - очевидно е, че първото уравнение.

Ако имате проблеми, решени с помощта на уравнението, на което трябва да намерите подходящото равенство, тогава направете уравнение за всеки от проблемите и след това съпоставете това, което имате с тези уравнения.

Усложнява: системата от уравнения - бонбони

Следващият етап в прилагането на равенството на буквите в алгебрата е проблемите, решени чрез система от уравнения. В тях има две неизвестни и една от тях е изразена от другата въз основа на наличните данни. Известно е, че Паша и Кейти са заедно 20 бонбона. Известно е също така, че ако Паша имаше още 2 бонбона, щеше да има 15 бонбона, колко бонбони всеки?

В този случай не знаем нито броя на бонбоните на Кати, нито броя на бонбоните на Саша, следователно имаме две неизвестни, съответно X и Y. В същото време знаем, че Y + 2 = 15.

Създавайки система, получаваме две уравнения:

1. X + Y = 20;
2. Y + 2 = 15.

И тогава действаме според правилата за решаване на системите: извличаме Y от второто уравнение, получавайки Y = 15 - 2, и след това го заместваме в първото, т.е. X + Y = X + (15 - 2) = 20. След като решим уравнението, получаваме X = 7, тогава Y = 20 - 7 = 13. Проверете коректността на решението, като замените Y с второто уравнение: 13 + 2 е действително равно на 15, т.е. Катя има 7 бонбона, а за паша - 13.

Още по-трудно: квадратични уравнения и земя

Има и решени проблеми в алгебрата квадратично уравнение. В тях няма нищо сложно, просто стандартната система се преобразува в квадратично уравнение по време на решението. Например, даден е парцел от 6 хектара (60 000 кв. М), оградата с дължина 1000 метра. Какви са дължината и ширината на участъка?

Ние съставяме уравнението. Дължината на оградата е периметърът на обекта, следователно, ако дължината е означена с X, а ширината е Y, тогава 1000 = 2 * (X + Y). Площта е същата, т.е. X * Y = 60000. От първото уравнение получаваме X = 500 - Y. Подменяйки го във второто уравнение, получаваме (500 - Y) * Y = 60000, т.е. 500Y - Y ² = 60000. След като решим уравнението, получаваме страни, равни на 200 и 300 метра - квадратичното уравнение има два корена, единият от които често не е подходящ за условието, например е отрицателен, докато отговорът трябва да бъде броя на естествените следователно проверката е задължителна.

Повторете: дървета в градината

Определяйки темата, решаваме друг проблем. В градината има няколко ябълкови дървета, 6 круши и няколко черешови дървета. Известно е, че общият брой на дърветата е 5 пъти по-голям от броя на ябълките, докато в сравнение с ябълките има 2 пъти повече черешови дървета. Колко дървета са от всякакъв вид в градината и колко в градината са всички дървета?

За неизвестното X, както вече е ясно, ние обозначаваме ябълкови дървета, чрез които можем да изразим останалите количества. Известно е, че Y = 2Х и Y + X + 6 = 5Х. Подменяйки Y от първото уравнение, получаваме равенство 2X + X + 6 = 5X, откъдето X = 3, затова в градината Y = 3 * 2 = 6 черешови дървета. Проверяваме и отговаряме на втория въпрос, добавяйки получените стойности: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, т.е. проблемът се решава правилно.

Контрол: сумата от числата

Решаването на проблеми с помощта на уравнението далеч не е толкова трудно, колкото изглежда на пръв поглед. Най-важното не е да се направи грешка при избора на неизвестното и, което е по-важно, да се изрази правилно, особено ако става дума за система от уравнения. В заключение, последният проблем е даден, много по-ангажиран от представените по-горе.

Сумата от три числа е 40. Известно е, че X = 2Y + 3Z и Y = Z - 2/3 Какво са X, Y и Z равни?

Така че нека започнем с отървенето на първото неизвестно. Вместо X, ние заместваме съответния израз в равенство, получаваме 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. След това също заместваме познатото Y, за да получим равенството 3Z - 2 + 4Z = 40, откъдето Z = 6. Връщайки се към Y, намираме че е равен на 5.2, а X, на свой ред, е равен на 18. С помощта на проверка ние сме убедени в истинността на израза, следователно проблемът е решен правилно.

заключение

И така, какви са проблемите, решени от уравнението? Дали са толкова страшни, колкото изглежда на пръв поглед? Няма начин! С грижата да ги разберем не е трудно. И след като разберете алгоритъма, в бъдеще ще можете да кликнете върху подобни пъзели, дори най-сложните, като семената. Основното е внимателността, тя е тази, която ще помогне за правилното определяне на неизвестното и чрез решаване на понякога набор от уравнения намират отговора.