Как да изчислим ъглите между векторите?

При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът има особени трудности, когато става въпрос за намиране на ъгли между векторите.

Основни термини

Преди да разгледаме ъглите между векторите, е необходимо да се запознаем с дефиницията на вектор и понятието за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който е дефинирано неговото начало и край.

Ъгълът между два вектора върху равнина, които имат общо начало, се нарича по-малкият от ъглите, като размерът на който искате да преместите един от векторите около обща точка, до позиция, където техните посоки съвпадат.

Формула за решаване

Разбирайки какво е векторът и как се определя неговия ъгъл, можем да изчислим ъгъла между векторите. Формулата на решението за това е съвсем проста и резултатът от неговото прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. Според дефиницията, тя е равна на конкретния скаларен продукт на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се разглежда като сума от съответните координати на факторните вектори, умножени една от друга. Дължината на вектора или неговия модул се изчислява като квадратен корен от сумата на квадратите на нейните координати.

След като се получи стойността на косинуса на ъгъла, величината на самия ъгъл може да бъде изчислена с помощта на калкулатор или използване на тригонометричната таблица.

пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решението на съответния проблем ще стане просто и ясно. Като пример, си струва да разгледаме простата задача да намерим величината на ъгъла.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчисли необходимото за решаване на стойностите на дължините на векторите и техния скаларен продукт. Използвайки описаното по-горе, получаваме:

Подменяйки получените стойности във формулата, изчисляваме косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи стойности на косинуса, така че за да получите ъгъла, ще трябва да използвате калкулатора или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се освободи от допълнителния отрицателен знак:

Окончателният отговор за поддържане на точността може да бъде оставен в тази форма и можете да изчислите ъгъла в градуси. Според таблицата на Bradis, стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойността 116.57 градуса.

Изчислете ъгъла в n-мерното пространство

При разглеждане на два вектора в триизмерно пространство много по-трудно е да се разбере кой ъгъл е под въпрос, ако те не лежат в една и съща равнина. За да се опрости възприятието, можете да начертаете два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях и това ще бъде желаният. Въпреки наличието на третата координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларния продукт и модулите на векторите, косинуса на техните частни и ще бъде отговорът на този проблем.

В геометрията често има проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда същият.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от най-често срещаните грешки при писане на отговор на проблем, предназначен за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се запише, че векторите са успоредни, т.е. желаният ъгъл е 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След като получи стойността на ъгъла от 0 градуса според резултатите от решението, правилният отговор би бил да се обозначат векторите като кодирани, т.е. векторите ще имат една и съща посока. В случай на 180 градуса, векторите ще бъдат противоположно насочени.

Специфични вектори

Намирайки ъглите между векторите, можете да намерите един от специалните типове, в допълнение към кодирекционните и противоположно насочените, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​копланарни.
• Векторите със същата дължина и посока се наричат ​​равни.
• Вектори, разположени на една права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, т.е. нейното начало и край съвпадат, то се нарича нула, а ако е едно, то тя е единица.