Пълно ускорение и неговите компоненти. Тангенциално ускорение и нормално ускорение. Формули и примерно решаване на проблеми

19.05.2019

В кинематиката, за да се определят недвусмислено характеристиките на движението на тялото във всяка точка на траекторията, е необходимо да се знае скоростта и ускорението му. Времевата зависимост на тези величини осигурява цялата необходима информация за изчисляване на пътя, изминат от тялото. Нека разгледаме по-подробно в статията какво е ускорението тангенциално и нормално ускорение.

Във физиката

Ускорение и скорост

Преди да разгледаме ускорението за механично движение, нормално и тангенциално ускорение, нека се запознаем със самата физическа концепция. Определението за ускорение е съвсем просто. Във физиката под него разбират характерните промени в скоростта. Последното е векторно количество, което определя скоростта на промяна на координатите на движещ се обект в пространството. Скоростта се измерва в метри в секунда (изминато разстояние за единица време). Ако е обозначен със символа v¯, то математическата дефиниция на ускорението a¯ ще изглежда така:

a¯ = dv¯ / dt

Това равенство определя така нареченото пълно моментално ускорение. Тя се нарича мигновена, защото характеризира промяната в скоростта само в даден момент.

Ако движението е еднакво ускорено, т.е. за дълго време, ускорението не променя своя модул и посока, тогава можем да напишем следната формула, за да я определим:

a¯ = Δv¯ / Δt

Където Δt >> dt. Стойността на a тук се нарича средно ускорение, което обикновено се различава от моменталното.

Ускорението се измерва в системата SI в метри на квадратна секунда (m / s 2 ).

Траектория и компоненти на пълното ускорение

Извита пътека и допирателни

Най-често телата в природата се движат по криви траектории. Примери за такова движение са: въртене на планетите в орбитите им, параболично падане на камък на земята, завъртане на кола. В случай на криволинейна траектория по всяко време, скоростта е насочена тангенциално към въпросната траектория. Как е насочено ускорението?

За да отговорим на горния въпрос, пишем скоростта на тялото в следната форма:

v¯ = v * u t ¯

Тук u t ¯ е единичният вектор на скоростта, индексът t означава, че е насочен тангенциално към траекторията (тангенциална компонента). Символът v означава модула на скоростта v.

Сега, следвайки дефиницията за ускорение, можем да разграничим скоростта по отношение на времето, имаме:

a¯ = dv¯ / dt = dv / dt * u t ¯ + v * d (u t ¯) / dt

Така общото ускорение a¯ е векторната сума от два компонента. Първият и вторият термин се наричат ​​нормално и тангенциално ускорение. Обърнете внимание на всеки един от тези компоненти.

Пълен вектор на посоката на ускорение

Тангенциално ускорение

Пишем отново формулата за този компонент на пълното ускорение:

a t ¯ = dv / dt * u t ¯

Този израз ни позволява да опишем свойствата на t ¯:

  • То е насочено по същия начин като самата скорост или срещу нея, т.е. по допирателната към траекторията. Това се доказва от елементарния вектор u t ¯.
  • Той характеризира промяната в скоростта в абсолютна стойност, която се отразява от фактора dv / dt.

Тези свойства ни позволяват да направим важен извод: за праволинейно движение пълното и тангенциално ускорение са еднакви. В случай на криво движение, общото ускорение винаги е по-голямо по размер от тангенциалното. Когато разглеждаме физически задачи за праволинейно равномерно ускорено движение, те говорят за този компонент на ускорението.

Ускорението е нормално

Като се има предвид темата за скоростта, ускорението на тангенциалното и ускорението на нормалното, даваме описание на последната стойност. Пишем формулата за него:

a n ¯ = v * d (ut ¯) / dt = v * d (ut ¯) / dL * dL / dt

За да напишем изрично дясната страна на равенството, използваме следните отношения:

dL / dt = v;

d (ut ¯) / dL = 1 / r

Тук dL е разстоянието, изминато от тялото през интервала от време dt, r е радиусът на кривината на траекторията. Първият израз отговаря на дефиницията на скоростта, второто равенство следва от геометричните съображения. Използвайки тези формули, получаваме крайния израз за нормално ускорение:

a n ¯ = v2 / r

Това означава, че стойността на a n ¯ не зависи от промяната на скоростта, като тангенциална компонента, а се определя единствено от нейния модул. Нормалното ускорение по нормалната към тази част на траекторията е насочено към центъра на кривината. Например, докато се движим по кръг, векторът a n ¯ е насочен към неговия център, поради което нормалното ускорение често се нарича центростремително.

Ако ускорението е отговорно за промяна в тангенциалното ускорение, тогава нормалната компонента е отговорна за промяната на вектора на скоростта, т.е. определя траекторията на тялото.

Пълно, нормално и тангенциално ускорение

Компоненти за пълно ускорение

След като се справим с понятието ускорение и неговите компоненти, сега даваме формула, която ни позволява да определим пълното ускорение. Тъй като разглежданите компоненти са насочени един към друг под ъгъл от 90 о , може да се използва питагоровата теорема за определяне на абсолютната стойност на тяхната векторна сума. Формулата за пълно ускорение е:

a = √ (a t 2 + a n 2 )

Посоката на количеството а може да се определи по отношение на вектора на който и да е от компонентите. Например ъгълът между а и а се изчислява като:

θ = arctan (a t / a n )

Като се има предвид горната формула за модула а, можем да заключим: с равномерно движение по кръг, пълното ускорение съвпада с центростремителното.

Решаване на проблеми

Нека тялото се движи в кръг с радиус от 1 метър. Известно е, че скоростта му варира в съответствие със следния закон:

v = 2 * t 2 + 3 * t

Необходимо е да се определи тангенциалното ускорение и нормалното ускорение в момента t = 4 секунди.

Вектор на скоростта

За тангенциални имаме:

a t = dv / dt = 4 * t + 3 = 19 m / s 2

За да намерите нормалния модул на ускорението, първо трябва да изчислите стойността на скоростта в даден момент във времето. Имаме:

v = 2 * 4 2 + 3 * 4 = 44 m / s

Сега можете да използвате формулата за a n :

a n = v 2 / r = 44 2/1 = 1936 m / s 2

По този начин, ние определихме всички количества, които бяха необходими, за да намерим решение на проблема.