Определяне на ъгловия момент, сила и инерция. Уравнение на момента Пример за решаване на проблема

19.05.2019

Динамиката на въртене е една от важните части на съвременната механика, която разглежда законите на въртеливото движение на тела около оси и точки. В тази статия ще разгледаме подробно основното уравнение на динамиката на въртене - уравнението на моментите.

Момент на импулс

Момент на инерция на материална точка

Всеки ученик знае какво представлява механичен импулс, който по-правилно се нарича размер на движението. Сега да предположим, че материална точка с маса m се върти около оста О с линейна скорост v. Ако радиусът на въртене е обозначен като r, тогава можем да напишем следния израз:

L¯ = [m * v¯ * r¯].

Първите два фактора от дясната страна на равенството са линейният импулс на точка. Продуктът на този импулс от вектора rp, насочен от оста на въртене до точка, се нарича ъгловият момент L¯.

Стойността на L¯ е вектор. Тя е насочена перпендикулярно на равнината на въртене на дадена точка. Посоката на ъгловия импулс на материалната точка се определя, като се използва правилото на дясната ръка или правилото на карбура. Завъртането на точката обратно на часовниковата стрелка създава положителен ъглов момент.

Тъй като скоростта на въртене v¯ е насочена тангенциално към кръгова пътека, векторната експресия може да бъде пренаписана в скаларна форма:

L = m * v * r.

Момент на сила

Момент на сила

Това е друга важна характеристика на ротационното движение. Във физиката това количество се въвежда по същия начин като ъгловия импулс на материална точка, но вместо количеството на движение трябва да се замени тангенциалната сила с формулата, описана по-горе. Имаме:

M¯ = [r¯ * F¯].

Моментът на сила, който също се нарича момент на въртящия момент, характеризира способността на последния да извърши завоя на системата и да даде ъглово ускорение.

Посоката на вектора на въртящия момент M¯ се определя от същите правила както за вектора L¯. Ако системата изпълнява ускорено въртене, тогава M¯ и L¯ съвпадат по посока, ако се забавят, тогава те ще бъдат противоположно насочени.

Ако силата F ¯ и радиус-вектор r ще бъдат взаимно перпендикулярни, тогава векторната форма на записа ще се превърне в подобен скалар:

M = r * F.

Стойността на r се нарича лост на силата. Колкото е по-голяма неговата стойност, толкова по-голям е моментът, в който се създава силата F, и колкото по-голямо ще бъде ускорението на системата.

Сила на рамото

Примери, които биха позволили по-ясна представа за това какво е физическото значение на M¯, отвинтват гайката със специален дълъг ключ, процеса на отваряне на вратата с бутане близо до дръжката и близо до пантите на вратата, както и процеса на задържане на тялото на определена маса върху опъната и притисната към тялото. ръка.

Момент на инерция

Остава да се определи третата точка, която се използва за количествено описание на процеса на ротация. Моментът на инерция на материалната точка, чиито параметри са записани в началото на изделието, се изчислява по формулата:

I = m * r 2 .

За разлика от другите два момента (M¯ и L¯), моментът на инерцията е скалар. С него се описват инерционните свойства на системата (аналогия с масата по време на транслационното движение).

Очевидно е, че за да се определи стойността на I за твърдо тяло със сложна форма и неравномерна плътност, трябва да използвате интегралното число:

I = ( m (r 2 * dm).

Всъщност формулата отразява сумирането на количествата i за всяка материална точка i.

Моментът на инерция I е характерен не само за формата и разпределението на масата в системата на въртене, но и зависи от местоположението на оста. Например, много от тях са забелязали, че е много по-лесно да се върти метален прът или дървен моп по ос, минаваща през тяхната дължина, отколкото по перпендикулярна ос. Във втория случай моментът на инерцията придобива по-голямо значение.

Моменти на инерция на различни тела

Моментно уравнение за материална точка

Сега е време да се обърнем директно към темата на статията. Ако въртящият момент М действа за време dt, тогава той води до промяна на ъгловия импулс със стойност dL, която е:

dL = M * dt.

Това равенство е диференциална форма на писане на моментното уравнение във физиката. Прехвърлете термина dt в лявата страна на равенството и пренапишете dL изрично, получаваме:

dL / dt = M =>

m * dv * r / dt = M.

Припомнете си, че линейната скорост в кинематиката е свързана с ъгловото следващо уравнение:

v = ω * r.

Подменяйки го в уравнението на моментите, получаваме:

m * dω * r 2 / dt = M =>

I * α = M, където α = dω / dt, I = m * r 2 .

Полученото равенство често се използва за определяне на кинематичните характеристики на въртяща се система, ако са известни момента на външните сили М и момента на инерцията.

Законът за запазване на стойността L

Уравнението на момента показва как се променя ъгловия импулс, ако действа външен момент М. Какво ще се случи със системата, ако М се окаже нула? В този случай стойността на L ще бъде запазена. Математическата формула за тази ситуация е написана както следва:

L = const или

L = m * r * v = m * r 2 * ω = I * ω = const.

Отбележете, че условието M = 0 трябва да бъде изпълнено само за външни сили. Вътрешните сили, които създават момента М, не могат да променят момента на инерцията на системата.

Закон за опазване L се използва за завъртане на изкуствени спътници в космическото пространство и фигурно пързаляне. Така, групирайки се по различни начини, спортистът променя стойността на своя момент на инерция, което води до пропорционална промяна в скоростта на нейното ъглово завъртане.

Закон за запазване на инерцията

Примерна задача

Сила от 10 N въздейства върху материална точка с тегло 2 кг, като се знае, че радиусът на въртене на материална точка около оста е 0,5 м, а също и като се има предвид, че силата действа тангенциално на траекторията, е необходимо да се намери ъгловата скорост на точката 5 секунди след началото на движението ,

Пишем моментното уравнение и изразяваме ускорението α:

I * α = M =>

α = M / I.

Сега заместваме изразите за M и I, като вземаме предвид условията на проблема, имаме:

α = F * r / (m * r 2 ) = F / (m * r).

Тъй като разглежданото движение се осъществява с постоянно ускорение а, следващата формула ще бъде подходяща за изчисляване на:

ω = α * t.

Като заместим в нея полученото изражение за α, получаваме крайната работна формула:

ω = F * t / (m * r).

Като се имат предвид данните на проблема, можете да напишете отговора: ω = 50 rad / s. Тази стойност съответства на почти 8 пълни оборота около оста за секунда.