Свойства и формули на правоъгълна призма

Призма е една от перфектните обемни фигури, заедно с топка, цилиндър и пирамида, свойствата на които са обсъдени в специален раздел на геометрията - стереометрия. В тази статия ще разгледаме основните характеристики на правоъгълната призма.

Фигура на призмата

Много хора знаят за триъгълни призми или шестоъгълни, но не всеки човек има ясна представа за това какво е тази цифра като цяло. В геометрията под него се разбира пространствен обект, който е ограничен от два еднакви полигона и няколко четириъгълника. Два полигона се наричат ​​призматични бази. Те лежат в паралелни равнини. Всички четириъгълници са успоредни и образуват страничната повърхност на фигурата.

Основните формули и свойства на призмата засягат въпросите за определяне на обема, площта на повърхността и броя на елементите, формиращи фигурата. Съставът на последния включва върхове, ръбове и лица. Количествата на тези елементи са свързани помежду си чрез израза на Ейлер за полиедри. Той има следната форма:

Брой на ръбовете = брой лица + брой на върховете - 2

Тъй като страничната повърхност на призмата винаги е представена от паралелограми, нейните основни характеристики зависят от типа на многоъгълника, лежащ в основата на тази фигура. Ако полигонът е триъгълник, тогава призмата се нарича триъгълна, ако четириъгълникът е четириъгълен и така нататък.

Правоъгълна призма

Ако ъгълът между всяка страна на призмата и основата му е 90 ^° , тогава такава фигура се нарича правоъгълна. Имайте предвид, че говорим за ъгъла между страните, а не между ребрата. Често такава фигура се нарича пряка призма.

Когато маркираният ъгъл е 90 ^o , тогава всички паралелограми автоматично стават правоъгълници. Това е още една причина, поради която тази призма се нарича правоъгълна. Фигурата по-долу показва как изглежда една правоъгълна призма.

Тук виждаме, че всяка от трите призми се различава от останалите по типа на многоъгълника, на който се намира формата. Фигурата показва триъгълни, четириъгълни и петоъгълни призми. Броят на правоъгълниците за всеки от тях е съответно 3, 4 и 5. t

Важно свойство на правоъгълна призма, която го отличава от наклонен ъгъл, е фактът, че дължината на неговия страничен ръб съвпада с височината на фигурата. Този имот е много удобен при изчисляване на неговата площ и обем.

Правилна призма

Всяка пряка призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, се нарича редовна. Посоченият полигон трябва да има еднаква дължина от всички страни и равни ъгли. Такъв правоъгълник е равностранен триъгълник, квадрат, петоъгълник и т.н.

Фигурата по-долу показва две призми. Левият е правилен, защото в основата му има квадрат и е прав. Дясната, въпреки че линията е права, не е вярна, тъй като нейната база е произволно четиристранно.

Единствената правилна призма, която има собствено име, е куб. Тя се получава, когато височината на фигурата съвпада с дължината на страната на квадрата в основата.

Тъй като площта за правилен многоъгълник е лесна за изчисляване, тогава за всяка правилна призма са известни формулите за нейната повърхност и обем.

Площ на правилния многоъгълник

Преди да дадете формулите за площта и обема на правоъгълната призма, помислете за правилен многоъгълник.

Фигурата по-долу показва набор от правилни полигони, с изключение на кръг.

Вижда се, че за всяка от тях броят на страните съвпада с броя на ъглите. Освен това всички страни и ъгли са еднакви. Тези свойства ни позволяват да дадем формула, която е универсална за всички правилни полигони и ни позволява да изчислим тяхната площ. Формулата е във формата:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

Където a е дължината на страната, n е броят на страните (върховете) на формата. Символът ctg обозначава котангенсната тригонометрична функция.

Ние показваме как да използваме този израз. Например, да изчислим площта на равностранен триъгълник. За него n = 3, след това:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / =3 = √ 3/4 * a ²

Сега използвайте тази формула за квадрата. Имаме:

S ₄ = 4/4 * a ² * ctg (pi / 4) = a ² * 1 = a ²

Това означава, че имаме добре познатия израз за квадрата на квадрата.

Повърхността на призмата

Когато е дадена геометрична дефиниция на въпросната фигура, е показано, че тя се състои от две бази и няколко паралелограми. Това число е точно равно на броя страни на полигона в основата. Площта на разглежданата фигура може да бъде записана по следната формула:

S = 2 * S _o + S _b

Където S _o - основна площ, S _b - странична повърхност. Тъй като последният се състои от n паралелограми, неговата стойност е равна на сумата от техните площи.

В случай на правилна права призма, страничната повърхност ще бъде оформена от правоъгълници със страни а и h, където а е дължината на основната страна, h е височината на призмата. За случая на n правилен квадрат получаваме формулата за площта S _{tot на} призмата:

S _tot = n / 2 * a ² * ctg (pi / n) + n * a * h

Фигурата по-долу показва сканиране на шестоъгълна призма.

Може да се види, че фигурата е оформена от два правилни шестоъгълника и шест еднакви правоъгълника, едната страна на която е равна на страната на шестоъгълника. Прилагайки израза по-горе за тази призма, получаваме:

S ⁶ _tot = _6/2 * a ² * ctg (pi / 6) + 6 * a * h = 3 * a * (*3 * a + 2 * h)

Формула за обем

Обемът на призмата обикновено се изчислява по следната проста формула:

V = S _o * h

За правоъгълна форма височината е нейният ръб, така че този израз е лесен за прилагане. Например, изчисляваме обема на триъгълна нормална призма. Площта на базата му вече е изчислена, тя е равна на:

S ₃ = / ₃ / 4 * a ²

Тогава стойността на обема за формата ще бъде както следва:

V = S ₃ * h = /3 / 4 * a ² * h

Формулите за права призма с правилен полигон в долната част показват, че всички свойства за такива фигури могат да се получат, ако знаете само два параметъра: дължината на страната на n-края и височината на призмата.