Цифрови системи: примери. Превод на системи с номера

Говорейки на най-простия език, системата от числа е начин за представяне на числа. Използвахме метода на изчисление при изчисляване 10. Други системи с номера, например, имат база от 16 (шестнадесетични), 8 (осмични) и 2 (двоични).

Праисторически времена

Точно както първите опити за писане се появиха след развитието на речта, първите усилия за графично представяне на числата се появиха след като хората се научили да разчитат. Вероятно най-ранният начин за преброяване е някаква система за преброяване на физически обекти, като камъчета или пръчки. Съдейки по обичаите на настоящите коренни народи, както и най-старите следи от писани или скулптурни находки, най-ранните фигури са прости нарязани на дъски, драскотини по камък, белези върху парче керамика и др. освен най-примитивната бартер, без данъчната система и никакви други потребности освен онези, които поддържаха живота, хората не се нуждаеха от писмени номера до началото на т.нар. исторически времена.

Първи методи за броене

Когато е необходимо често да се преброяват цифри, превишаващи 10, номерирането трябва да бъде систематизирано и опростено; това обикновено се прави чрез използване на група или група. Всъщност най-ранните записани числа бяха прости линейни знаци за малки числа със специална форма за 10. Тези символи се появяват в Египет още през 3400 г. пр. Хр. И в Месопотамия още през 3000 г. пр. Хр. ) И в Индия (около 300 г. пр. Хр.).

Разбира се, специално място заема номер 10 от броя на човешките пръсти, което потвърждава сегашното използване на тази рамка не само в логическата структура на десетичната система, но и в имената на числата в много езици.

Разнообразие от методи за броене

Не бива обаче да се прави заключение, че 10 е или единствената възможна основа, или единствената действително използвана. Има много примери за брой системи. Двоичен, в който преброяването е „едно, две, две и едно, две и две, две и две и една” и т.н., се намира сред най-древните племена на Австралия, на много езици на народите на пролива Торес и прилежащото крайбрежие на Нова Гвинея, някои африкански пигмеи и различни южноамерикански племена. Коренните народи на Огъня и Южноамериканския континент използват системите с номера три и четири. Базовата система номер 5 е много стара, но в чиста форма изглежда, че в момента се използва само в някои племена в Южна Америка. На други места тя е комбинирана с десетична или десетична десетична система, където базата е 20. Също така, система, базирана на 6, е рядка в северозападната част на Африка и е свързана с 12 базова система на дванадесетопръстника.

В хода на историческото развитие десетичната система най-накрая засенчи всички останали. Въпреки това все още има много други системи, които се използват главно в търговската и жилищната индустрия. По този начин, база 12 възниква като брой инча в фута, месеци в година, унции в килограм, и два пъти за 12 часа на ден, както и дузина, използвани в изчислението. Основа 60 се намира при измерване на време и ъгъл.

Цифрови системи

Първите примитивни цифри бяха |, ||, ||| например, в Египет и Древна Гърция, или -, = ,, и т.н., както в Източна Азия. Този метод на смятане отговаря на простите нужди на хората. Тъй като животът стана по-сложен, необходимостта от броя на групите номера стана очевидна и това беше само една малка стъпка от проста система с имена само за една и десет до появата на други специални номера, на базата на които можете да определите колко съществуват и съществуват броят системи. Понякога този процес е несистематичен. Например, юкагирът на Сибир смяташе „едно, две, три, три и едно, пет, две три, две и три, две, четири, десет с една пропусната, десет”. Обикновено, обаче, една по-редовна система води до факта, че повечето от тези системи могат да бъдат класифицирани, най-малкото в общи линии, в съответствие с логическите принципи, на които се основават.

Прости групиращи системи

Въз основа на неговата стойност, системата за номера може да се разглежда като метод за групиране на числа. В чистата си форма проста система за групиране е присвояването на специални имена за малки числа, базата b и нейните правомощия b2, b3 и т.н. до степен bk, достатъчна да представи всички числа, които са наистина необходими за използване. След това се формират междинни числа чрез добавяне, всеки символ се повтаря необходимия брой пъти, точно както се записва 23 - XXIII - с римски цифри.

Най-ранният пример за този тип система от номера е модел, който се среща в египетските йероглифи. Той е бил използван от древните египтяни за писане върху камък.

Позиционни бройни системи

Сред тях са тези, в които позицията (цифрата) при написването на числото определя нейната стойност. Системата от десетични числа е пример за позиционна система, в която след възприемането на база b, на номера 1, 2, ..., b-1 се присвояват специални имена и всички по-големи числа се записват като последователности от тези цифри. Той е единственият сред многобройните системи, които могат да се използват за описване на големи числа. Това е така, защото всеки от другите типове дава специални имена на различни числа, по-големи от b, и всички числа изискват безкраен брой имена. Успехът на позиционната система от числа зависи от факта, че за произволна база b всяко число N може да бъде записано еднозначно във формата:

N = anbn + an - 1bn - 1 + ⋯ + a1b + a0,

където a, an - 1, ..., a0 са числата; това са числата от групата 0, 1, ..., b - 1. Тогава N в основата b може да бъде представена с последователност от anan - 1 ... a1a0 символи. Този принцип се използва в мултипликативните групиращи системи. Позиционната система произтича от мултипликативната просто чрез изключване на имената на градусите b, b2 и т.н. и се определя в зависимост от позицията на номерата за представяне на тази информация. Въпреки това е необходимо да се използва някакъв знак за нула, за да се посочи липсващия основен орган; в противен случай, 792 може да означава, например, или 7M9X2 (т.е. 7,092) или 7C9X2 (792).

Развитие в различни страни

Пример за такъв тип система от номера е методът, разработен от вавилонците (приблизително 3000-2000 г. пр. Хр.). Тук е използвано число 60. Такава система се нарича шестнадесетична. С такава голяма база, би било неудобно да има несвързани имена за числата 0, 1, ..., 59, така че за тези числа е използвана проста система за групиране до дъното 10.

В допълнение към факта, че тази система е тромава поради голямата си база, вавилонската система страда до много късно от липсата на нулева марка.

По време на ранните експедиции до Юкатан е открит още един пример за системата на Майя. Използва се главно в календара, а не за търговски или други изчисления. Това беше добре развита позиционна система. Неговата основа е числото 20. Числата 0, 1, ..., 19, както и във Вавилон, се формират от проста система за групиране, в случая с база 5.

Нито маите, нито вавилонските системи са идеални за аритметични изчисления, защото цифрите по-малки от 20 или 60 не са представени от единични знаци.

еволюция

По-нататъшното развитие на тази идея е свързано с индийците, които също са първите, които използват нула в съвременния образ. В системите за позициониране е необходим някакъв знак, за да се маркира място, където базата всъщност не е намерена. Индусите отбелязват това с точка или малък кръг, на който е дадено името суня, санскритската дума „празна“. След това, около 800 г. сл. Хр това наименование бе прехвърлено на арабите, а в превод стойността беше запазена. След това той се запознава с латинския език (около 1200 г.), докато произношението се запазва, но стойността се игнорира. Последващите промени доведоха до модерно обозначаване.

Индуско-арабска система

Съществуват няколко различни мнения относно произхода на съвременните западни числа: те обикновено говорят за техния арабски произход, но за предпочитане е да се помисли за индуски-арабски. В този случай се твърди, че техният произход е свързан с арабите, персите, египтяните и индусите. Не е изключено, че комуникацията между търговците служи като възможност за прехвърляне на тези символи от страна на държава, така че съвременните западни фигури могат да идват от различни източници. Въпреки това, доколкото е известно, страната, която за първи път е използвала най-голям брой от тези цифрови форми, е Индия. 1, 4 и 6 се намират в надписите на Ашока (III в. Пр. Хр.); 2, 4, 6, 7 и 9 се появяват в надписите на Нана Гхат след около един век; и 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 9 в пещерите на Насик от 1-ви или 2-ри век след Христа. Всички тези числа имаха форма, до голяма степен сходна с днешната.

Предимствата, с които разполага една перфектна система за позициониране, са толкова многобройни и толкова очевидни, че индуско-арабските цифри и база 10 са приети почти навсякъде. Може да се каже, че това е най-близкият подход към универсалния човешки език.

Двоична система

Има обаче област, в която обичайната десетична система не е най-добрата: компютърът. Тук двоичната позиционна система има повече предимства пред десетичната. В тази система база 2 определя колко числа са в двоичната система с числа: тук има само две цифри - 0 и 1; номер две е представен тук като 10, тъй като той играе същата роля като десет в десетичната система.

Двоичното число обикновено е много по-дълго от съответното десетично число; Например, 256 058 има двоично представяне 111 11010 00001 11010. Двоична цифра, подобно на единица в системата с номера, носи по-малко информация от десетичната цифра. Причината за по-голямата дължина на двоичното число е, че двоичната цифра различава само две възможности: 0 или 1, докато десетичната цифра различава между 10 възможности.

Октални и шестнадесетични бройни системи

Тяхната употреба е свързана и с компютри и програмиране.

По-старата система за номериране на компютри е осмичното число, където базата е числото 8. Цифрите, използвани в тази система са: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Стойността „осем“ се записва като „1 осем и 0 единици“. или 10. Всяка стойност на позицията е осем пъти по-различна от следващата.

От техническа гледна точка има толкова много различни компютърни езикови протоколи за осмичната система.

Другата система се нарича шестнадесетична, тъй като тази система има база от 16. Валидните шифри включват нормалните десетични знаци 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, както и шест азбучни знака A, B, C , D, E и F, общо шестнадесет. Стойността на всяка позиция се различава от предишната шестнадесет пъти.

Окталните и шестнадесетичните системи биха били безсмислени, ако не беше тяхната способност лесно да се преобразува в и от двоичната система. Тяхната основна цел е да служат като "съкратен" метод за обозначаване на число, представено по електронен път в двоичен вид. Тъй като основите на осмичната (8) и шестнадесетичната (16) системи са четни и кратни на двоичната база (2), бинарните битове могат да бъдат групирани заедно и числата в системите с числа могат да бъдат директно преобразувани в осмични или шестнадесетични цифри. При конвертиране в осмичната система бинарните битове са групирани в три (тъй като 23 = 8), а в шестнадесетичен - бинарните битове са групирани в четири (защото 24 = 16).

По същия начин, преобразуването на числа в осмичното или шестнадесетично число в двоично число се извършва с помощта на всяка осмична или шестнадесетична цифра и превръщането й в еквивалентна двоична (3 или 4-битова) група и след това всички групи бита се комбинират.