Как да намерим областта на полигона?

При проблемите с геометрията често се изисква да се изчисли площта на полигона. Нещо повече, тя може да има доста разнообразна форма - от познатия триъгълник до някакъв n-gon с някакъв невъобразим брой върхове. Освен това тези полигони са изпъкнали или вдлъбнати. Във всяка ситуация се предполага, че ще се гради върху облика на фигурата. Така се оказва, че избирате най-добрия начин за решаване на проблема. Формата може да е правилна, което значително ще опрости решението на проблема.

Малко теория на полигоните

Ако се изтеглят три или повече пресичащи се прави линии, те образуват определена фигура. Това е многоъгълник. По броя на точките на пресичане става ясно колко върхове ще има. Те дават името на получената фигура. То може да бъде:

• триъгълник;
• четириъгълник;
• пента или шестоъгълник и така нататък.

Такава цифра със сигурност ще се характеризира с две разпоредби:

1. Прилежащите страни не принадлежат към една права линия.
2. Несъседни точки нямат общи точки, т.е. не се пресичат.

За да разберете кои върхове са съседни, трябва да видите дали те принадлежат на една и съща страна. Ако е така, следващата. В противен случай те могат да бъдат свързани чрез сегмент, който трябва да се нарича диагонал. Те могат да бъдат нарисувани само в полигони, които имат повече от три върха.

Какви са техните видове?

Многоъгълник с повече от четири ъгъла може да бъде изпъкнал или вдлъбнат. Разликата на последното е, че някои от върховете му могат да лежат на противоположни страни на права линия, прокарана през произволна страна на многоъгълника. В една изпъкнала, всички върхове винаги лежат на едната страна на такава линия.

В училищния курс по геометрия по-голямата част от времето се дава на точно изпъкнали фигури. Следователно, при проблемите е необходимо да се открие областта на изпъкнал многоъгълник. След това има формула през радиуса на описаната окръжност, която ви позволява да намерите желаната стойност за всяка форма. В други случаи не съществува уникално решение. За триъгълник формулата е една, а за квадрат или трапецовидна напълно различна. В случаите, когато формата е неравномерна или има много върхове, обичайно е да се разделят на прости и познати.

Какво да направя, ако парче има три или четири върха?

В първия случай тя ще бъде триъгълна и можете да използвате една от формулите:

• S = 1/2 * a * n, където а е страната, n е височината към нея;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), където a и b са страни на триъгълник, A е ъгълът между известните страни;
• S = √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), където c е страната на триъгълника, към вече отбелязаните две, p е полупериметърът, т.е. сумата от трите страни, разделена на две. ,

Фигура с четири върха може да бъде паралелограма:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d ₁ * d ₂ * sin (α), където d ₁ и d ₂ са диагонали, α е ъгълът между тях;
• S = a * в * sin (α).

Формула за трапецови области: S = n * (a + b) / 2, където а и b са дължините на базите.

Какво да правим с правилен многоъгълник с повече от четири върха?

За начало такава фигура се характеризира с факта, че в него всички страни са равни. Освен това полигонът има същите ъгли.

Ако около такава фигура е описан кръг, тогава неговият радиус ще съвпадне с сегмента от центъра на многоъгълника до един от върховете. Следователно, за да се изчисли площта на правилен многоъгълник с произволен брой върхове, е необходима следната формула:

S _n = 1/2 * n * R _n ² * sin (360º / n), където n е броят на върховете на многоъгълника.

От него е лесно да получите такъв, който е полезен за специални случаи:

1. триъгълници: S = (3'3) / 4 * R2;
2. квадрат: S = 2 * R2;
3. шестоъгълник: S = (3√3) / 2 * R2.

Ситуацията с погрешна цифра

Изходът за това как да се открие площта на полигона, ако той не е правилен и не може да бъде приписан на някоя от известните по-рано цифри, е алгоритъмът:

• разбийте го на прости форми, като триъгълници, така че да не се пресичат;
• изчислява площта им, като използва формула
• добавете всички резултати.

Какво да направя, ако координатите на върховете на полигона са дадени в проблема?

Това означава, че е известен набор от двойки числа за всяка точка, които ограничават страните на фигурата. Обикновено те се записват като (x ₁ ; y ₁ ) за първия, (x ₂ ; y ₂ ) за втория, а n-тият връх има тези стойности (x _n ; y _n ). Тогава площта на полигона се дефинира като сумата от n термина. Всеки един от тях изглежда така: ((y _{i + 1} + y _i ) / 2) * (x _{i + 1} - x _i ). В този израз i варира от една до n.

Трябва да се отбележи, че знакът на резултата ще зависи от заобикалянето на формата. Когато използвате посочената формула и се движите по посока на часовниковата стрелка, отговорът ще бъде отрицателен.

Примерна задача

Състояние. Координатите на върховете са дадени от стойностите (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). За да се изчисли площта на многоъгълника.

Решението. Съгласно горната формула, първият термин ще бъде (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Тук трябва само да вземете стойностите за играта и Х от втората и първата точка. Простото изчисление ще доведе до резултат 1.8.

Вторият термин се получава по подобен начин: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При решаването на такива проблеми не се страхувайте от отрицателни стойности. Всичко върви както трябва. Това е планирано.

По същия начин се получават стойностите за третия (0.29), четвъртия (-6.365) и петия (2.96). Тогава общата площ е: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Съвет за решаване на проблема, за който полигонът е изобразен на хартия в клетката

Най-често е озадачаващо, че в данните се съдържа само размерът на клетката. Но се оказва, че повече информация не е необходима. Препоръката за решаване на този проблем е да се раздели формата на много триъгълници и правоъгълници. Тяхната област е доста проста за преброяване на дължината на страните, които след това са лесни за сгъване.

Но често има по-опростен подход. Тя се състои в изчертаване на фигура в правоъгълник и изчисляване на стойността на неговата площ. След това пребройте областите на тези елементи, които са излишни. Извадете ги от общата сума. Този вариант понякога включва малко по-малък брой действия.