Как да се изчисли обемът на различни геометрични тела?

В хода на стереометрията един от основните въпроси е как да се изчисли обемът на определено геометрично тяло. Всичко започва с обикновен паралелепипед и завършва с топка.

В живота, също често трябва да се справят с подобни проблеми. Например, за да изчислите обема на водата, която се поставя в кофа или варел.

Свойства справедливи към обема на всяко тяло

1. Тази стойност винаги е положително число.
2. Ако тялото може да бъде разделено на части, така че да няма пресичания, тогава общият обем е равен на сумата от обемите на частите.
3. Равните тела имат еднакъв обем.
4. Ако по-малко тяло се впише напълно в по-голямо, тогава обемът на първия е по-малък от втория.

Обща нотация за всички органи

Във всяка от тях има ръбове и основи, в които са изградени височини. Следователно такива елементи за тях са еднакво маркирани. Така те са написани във формули. Как да се изчисли обемът на всяко от телата - ще научим повече и ще приложим нови умения на практика.

Някои формули имат други стойности. Тяхното определяне ще бъде обсъдено, когато възникне такава нужда.

Призма, паралелепипед (права и наклонена) и куб

Тези тела са комбинирани, защото изглеждат много сходни, а формулите за изчисляване на обема са идентични:

V = S ₀ * h.

Само S0 ще се различава. В случай на паралелепипед тя се изчислява като правоъгълник или квадрат. В призмата една основа може да бъде триъгълник, успоредник, произволен четириъгълник или друг многоъгълник.

За куб формулата е значително опростена, защото всички нейни размери са равни:

V = a ³ .

Пирамида, тетраедър, пресечена пирамида

За първия от тези органи има такава формула за изчисляване на обема:

V = 1/3 * S ₀ * n.

Тетраедърът е специален случай на триъгълна пирамида. Всички ръбове в него са равни. Затова отново получаваме опростена формула:

V = (a ³ * √2) / 12, или V = _^1/3 S0 з

Отрязаната пирамида става, когато горната му част е отрязана. Следователно неговият обем е равен на разликата между двете пирамиди: тази, която би била непокътната, и отдалечения връх. Ако е възможно да се открият и двете бази на такава пирамида (S ₁ е по-голяма и S ₂ е по-малка), тогава е удобно да се използва тази формула за изчисляване на обема:

V = 1/3 * h * (S1 + √ (S1S2) + S2).

Цилиндър, конус и пресечен конус

Ако искате да изчислите обем на цилиндъра Можете да използвате формулата, посочена за призмата. Понякога е удобно да го напишете в тази форма:

V = π * r ² * h.

Ситуацията с конуса е малко по-сложна. За него има формула:

V = 1/3 π * r ² * h. Тя е много подобна на посочената за цилиндъра, само стойността се намалява три пъти.

Точно както при пресечена пирамида, ситуацията не е лесна с конус, който има две бази. Формулата за изчисляване на обема на пресечения конус е както следва:

V = 1/3 π * h * (r ₁ ² + r ₁ r ₂ + r ₂ ² ). Тук r1 е радиусът на долната основа, r2 е горната (по-малка).

Сфери и сектор

Това са най-трудните за запомняне формули. за обем на топката тя изглежда така:

V = 4/3 π * r ³ .

В проблемите често възниква въпросът как да се изчисли обемът на сферичния сегмент - частта от сферата, която е, така наречена, нарязана успоредно на диаметъра. В този случай спасява се следната формула:

V = π h ² * (r - h / 3). В него h се взема за височината на сегмента, т.е. частта, която върви по радиуса на топката.

Секторът е разделен на две части: конус и сегмент на топката. Следователно нейният обем се определя като сумата на тези тела. Формулата след трансформацията изглежда така:

V = 2/3 πr ² * h. Тук h също е височината на сегмента.

Примери за задачи

Обем на цилиндъра, топката и конуса

Състояние: диаметърът на цилиндъра (1 тяло) е равен на височината му, диаметъра на топката (2 корпуса) и височината на конуса (3 корпуса); проверете пропорционалността на обемите V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1

Решението. Първо, трябва да напишете три формули за обеми. След това помислете, че радиусът е половината от диаметъра. Това означава, че височината ще бъде равна на два радиуса: h = 2r. След като направихме проста подмяна, се оказва, че формулите за обеми ще изглеждат така:

V ₁ = 2 π r ³ ; V ₃ = 2/3 π r ³ . Формулата за обема на топката не се променя, защото височината не се появява в нея.

Сега остава да се напишат обемните отношения и да се намали 2π и r3. Оказва се, че V ₁ : V ₂ : V ₃ = 1: 2/3: 1/3. Тези числа лесно водят до запис 3: 2: 1.

Отговорът е. V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1.

За обема на топката

Състояние: има два дини с радиус 15 и 20 см; Кой е най-изгодният начин да ги изядем: първите четири от тях или вторият от втория?

Решението. За да отговорите на този въпрос, трябва да намерите съотношението на обемите на парчетата, които ще получите от всяка диня. Като се има предвид, че те са топки, трябва да запишете две формули за обеми. След това вземете предвид, че от първата всяка ще получите само четвъртата част, а от втората - осмата.

Остава да се запише съотношението на обемите на частите. Тя ще изглежда така:

(V ₁ : 4) / (V ₂ : 8) = (1/3 π r ₁ ³ ) / (1/6 π r ₂ ³ ). След превръщането остава само фракцията: (2 r ₁ ³ ) / r ₂ ³ . След заместване на стойностите и изчисленията се получава фракцията 6750/8000. От нея е ясно, че частта от първата диня ще бъде по-малка, отколкото от втората.

Отговорът е. По-изгодно е да се изяде осмата част от диня с радиус 20 cm.

За обема на пирамидата и куба

Състояние: има пирамида от глина с правоъгълна основа 8x9 cm и височина 9 cm; направиха куб от едно и също парче глина; какъв е ръбът му?

Решението. Ако обозначим страните на правоъгълника с букви в и с, тогава площта на основата на пирамидата се изчислява като техен продукт. Тогава формулата за нейния обем:

V ₁ = 1/3 * слънце * h.

Формулата за обема на куба е записана в статията по-горе. Тези две стойности са равни: V ₁ = V ₂ . Остава да уравните десните страни на формулите и да направите необходимите изчисления. Оказва се, че ръбът на куба ще бъде равен на 6 cm.

Отговорът е. а = 6 cm

Обем на паралелепипед

Условие: необходимо е да се направи кутия с вместимост 0,96 m ³ , с известна широчина и дължина - 1,2 и 0,8 метра; Каква трябва да бъде нейната височина?

Решението. Тъй като основата на паралелепипеда е правоъгълник, неговата площ се определя като произведение на дължина (а) и ширина (с). Следователно формулата за обем изглежда така:

V = a * c * n.

От него лесно може да се определи височината, като се раздели обема от областта. Оказва се, че височината трябва да бъде равна на 1 m.

Отговорът е. Височината на кутията е един метър.